Метрика Вейля – Петерссона
В математике метрика Вейля – Петерссона представляет собой кэлерову метрику на пространстве Тейхмюллера T g , n рода g римановых поверхностей с n отмеченными точками. Он был введен Андре Вейлем ( 1958 , 1979 ) с использованием внутреннего произведения Петерсона для форм на римановой поверхности (введенного Хансом Петерссоном ).
Определение
[ редактировать ]Если точка пространства Тейхмюллера представлена римановой поверхностью R кокасательное пространство в этой точке можно отождествить с пространством квадратных дифференциалов в R. , то Поскольку риманова поверхность имеет естественную гиперболическую метрику , по крайней мере, если она имеет отрицательную эйлерову характеристику , можно определить эрмитово скалярное произведение в пространстве квадратных дифференциалов путем интегрирования по римановой поверхности. Это индуцирует эрмитово скалярное произведение в касательном пространстве к каждой точке пространства Тейхмюллера и, следовательно, риманову метрику.
Характеристики
[ редактировать ]Вейль (1958) заявил, а Альфорс (1961) доказал, что метрика Вейля – Петерссона является метрикой Кэлера . Альфорс (1961b) доказал, что он имеет отрицательную голоморфную секционную , скалярную кривизну и кривизну Риччи . Метрика Вейля – Петерссона обычно не является полной.
Обобщения
[ редактировать ]Метрику Вейля–Петерсона можно определить аналогичным образом для некоторых пространств модулей многообразий более высокой размерности.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Альфорс, Ларс В. (1961), «Некоторые замечания о пространстве Тейхмюллера римановых поверхностей», Annals of Mathematics , Second Series, 74 (1): 171–191, doi : 10.2307/1970309 , hdl : 2027/mdp.39015095258003 , JSTOR 1970309 , МР 0204641
- Альфорс, Ларс В. (1961b), «Свойства кривизны пространства Тейхмюллера», Journal d'Analyse Mathématique , 9 : 161–176, doi : 10.1007/BF02795342 , hdl : 2027/mdp.39015095248350 , MR 013673 0 , S2CID 124921349
- Вейль, Андре (1958), «Модули римановых поверхностей», Семинар Бурбаки; 10 класс: 1957/1958 гг. тексты конференций; Презентации 152–168; 2-е исправленное издание, Exposé 168 (на французском языке), Париж: Secrétariat Mathématique, стр. 413–419, МР 0124485 , Збл 0084.28102
- Вейль, Андре (1979) [1958], «О модулях римановых поверхностей», Научные труды. Собраны бумаги. Том. II (1951–1964) , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 381–389, ISBN. 978-0-387-90330-9 , МР 0537935
- Вулперт, Скотт А. (2001) [1994], «Weil – Petersson_metric» , Энциклопедия математики , EMS Press
- Вулперт, Скотт А. (2009), «Метрическая геометрия Вейля-Петерссона», в Пападопулосе, Атанасе (ред.), Справочник по теории Тейхмюллера. Том. II , ИРМА лектор. Математика. Теор. Физика, вып. 13, Евр. Математика. Soc., Цюрих, стр. 47–64, arXiv : 0801.0175 , doi : 10.4171/055-1/2 , ISBN. 978-3-03719-055-5 , МР 2497791
- Вулперт, Скотт А. (2010), Семейства римановых поверхностей и геометрия Вейля-Петерссона , CBMS Reg. Конф. Серия по математике, вып. 113, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, arXiv : 1202.4078 , doi : 10.1090/cbms/113 , ISBN 978-0-8218-4986-6 , МР 2641916 , S2CID 7880175