Смена колец

В алгебре замена колец — это операция замены одного кольца коэффициентов на другое.

Конструкции

Учитывая кольцевой гомоморфизм $f:R\to S$ , есть три способа изменить кольцо коэффициентов модуля ; а именно, для правого R -модуля M и правого S -модуля N можно образовать

$f_{!}M=M\otimes _{R}S$ , индуцированный модуль, образованный расширением скаляров,
$f_{*}M=\operatorname {Hom} _{R}(S,M)$ , коиндуцированный модуль, образованный совместным расширением скаляров, и
$f^{*}N=N_{R}$ , образованный ограничением скаляров.

Они связаны как сопряженные функторы :

f_{!}:{\text{Mod}}_{R}\leftrightarrows {\text{Mod}}_{S}:f^{*}

и

f^{*}:{\text{Mod}}_{S}\leftrightarrows {\text{Mod}}_{R}:f_{*}.

Это связано с леммой Шапиро .

Операции

Ограничение скаляров

На протяжении всего этого раздела пусть $R$ и $S$ — два кольца (они могут быть или не быть коммутативными или содержать единицу ), и пусть $f:R\to S$ быть гомоморфизмом. Ограничение скаляров превращает S -модули в R -модули. В алгебраической геометрии термин «ограничение скаляров» часто используется как синоним ограничения Вейля .

Определение

Предположим, что $M$ это модуль над $S$ . Тогда его можно рассматривать как модуль над $R$ где действие $R$ предоставляется через

{\begin{aligned}M\times R&\longrightarrow M\\(m,r)&\longmapsto m\cdot f(r)\end{aligned}}

где $m\cdot f(r)$ обозначает действие, определяемое $S$ -модульная структура на $M$ . ^[1]

Интерпретация как функтор

Ограничение скаляров можно рассматривать как функтор из $S$ -модули для $R$ -модули. Ан $S$ -гомоморфизм $u:M\to N$ автоматически становится $R$ -гомоморфизм между ограничениями $M$ и $N$ . Действительно, если $m\in M$ и $r\in R$ , затем

u(m\cdot r)=u(m\cdot f(r))=u(m)\cdot f(r)=u(m)\cdot r\,

.

Как функтор ограничение скаляров является правым сопряженным функтору расширения скаляров.

Если $R$ — кольцо целых чисел, то это просто функтор забывания от модулей к абелевым группам.

Расширение скаляров

Расширение скаляров превращает R -модули в S -модули.

Определение

Позволять $f:R\to S$ — гомоморфизм между двумя кольцами, и пусть $M$ быть модулем над $R$ . Рассмотрим тензорное произведение $M^{S}=M\otimes _{R}S$ , где $S$ считается левым $R$ -модуль через $f$ . С $S$ также является правым модулем над собой, и оба действия коммутируют, т.е. $r\cdot (s\cdot s')=(r\cdot s)\cdot s'$ для $r\in R$ , $s,s'\in S$ (более формальным языком, $S$ это $(R,S)$ - бимодуль ), $M^{S}$ наследует правильное действие $S$ . Это дано $(m\otimes s)\cdot s'=m\otimes ss'$ для $m\in M$ , $s,s'\in S$ . Говорят, что этот модуль получен из $M$ посредством расширения скаляров .

Неформально расширение скаляров - это «тензорное произведение кольца и модуля»; более формально, это частный случай тензорного произведения бимодуля и модуля – тензорного произведения R -модуля с $(R,S)$ -бимодуль является S -модулем.

Примеры

Одним из простейших примеров является комплексификация , которая представляет собой расширение скаляров действительных чисел до комплексных чисел . В более общем смысле, учитывая любое расширение поля K < L, можно расширить скаляры от K до L. На языке полей модуль над полем называется векторным пространством , и, таким образом, расширение скаляров преобразует векторное пространство над K в векторное пространство над L. Это также можно сделать для тел алгебр , как это делается при кватернионификации (расширение вещественных чисел до кватернионов ).

В более общем смысле, учитывая гомоморфизм поля или коммутативного кольца R в кольцо S, кольцо S можно рассматривать как ассоциативную алгебру над R, и, таким образом, когда кто-то расширяет скаляры на R -модуле, результирующий модуль можно рассматривать как альтернативно как S -модуль или как R -модуль с алгебраическим представлением S ( как R -алгебра). Например, результат комплексификации вещественного векторного пространства ( R = R , S = C ) можно интерпретировать либо как комплексное векторное пространство ( S -модуль ), либо как вещественное векторное пространство с линейной комплексной структурой (алгебраическое представление S как R -модуль).

Приложения

Это обобщение полезно даже для изучения полей – в частности, многие алгебраические объекты, связанные с полем, сами по себе не являются полями, а представляют собой кольца, такие как алгебры над полем, как в теории представлений . Точно так же, как можно расширять скаляры на векторных пространствах, можно также расширять скаляры на групповых алгебрах , а также на модулях над групповыми алгебрами, т. е. представлениями групп . Особенно полезно выяснить, как изменяются неприводимые представления при расширении скаляров - например, представление циклической группы порядка 4, заданное поворотом плоскости на 90 °, является неприводимым двумерным действительным представлением, но при расширении скаляров. к комплексным числам он распадается на 2 комплексных представления размерности 1. Это соответствует тому факту, что характеристический многочлен этого оператора $x^{2}+1,$ неприводимо степени 2 по действительным числам, но разлагается на 2 множителя степени 1 по комплексным числам - у него нет действительных собственных значений, но есть 2 комплексных собственных значения.

Интерпретация как функтор

Расширение скаляров можно интерпретировать как функтор из $R$ -модули для $S$ -модули. Он отправляет $M$ к $M^{S}$ , как указано выше, и $R$ -гомоморфизм $u:M\to N$ к $S$ -гомоморфизм $u^{S}:M^{S}\to N^{S}$ определяется $u^{S}=u\otimes _{R}{\text{id}}_{S}$ .

Связь между расширением скаляров и ограничением скаляров

Рассмотрим $R$ -модуль $M$ и $S$ -модуль $N$ . Учитывая гомоморфизм $u\in {\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})$ , определять $Fu:M^{S}\to N$ быть составом

M^{S}=M\otimes _{R}S{\xrightarrow {u\otimes {\text{id}}_{S}}}N_{R}\otimes _{R}S\to N

,

где последняя карта $n\otimes s\mapsto n\cdot s$ . Этот $Fu$ это $S$ -гомоморфизм и, следовательно, $F:{\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})\to {\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)$ корректно определен и является гомоморфизмом ( абелевых групп ).

В случае, если оба $R$ и $S$ тождественны, существует обратный гомоморфизм $G:{\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)\to {\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})$ , который определяется следующим образом. Позволять $v\in {\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)$ . Затем $Gv$ это композиция

M\to M\otimes _{R}R{\xrightarrow {{\text{id}}_{M}\otimes f}}M\otimes _{R}S{\xrightarrow {v}}N

,

где первое отображение — это канонический изоморфизм $m\mapsto m\otimes 1$ .

Эта конструкция устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами ${\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)$ и ${\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})$ . На самом деле это соответствие зависит только от гомоморфизма $f$ и поэтому является функториалом . На языке теории категорий расширение функтора скаляров слева сопряжено с ограничением функтора скаляров.

См. также

Ссылки

Даммит, Дэвид (2004). Абстрактная алгебра . Фут, Ричард М. (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. стр. 359–377 . ISBN 0471452343 . OCLC 248917264 .
Дж. Питер Мэй , Заметки о Tor и Ext
Николя Бурбаки . Алгебра I, глава II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. §5. Расширение кольца скаляров; §7. Векторные пространства. 1974 год, Герман.

Дальнейшее чтение

Индукция и коиндукция представлений.

^ Даммит 2004 , стр. 359.

[FOOTNOTEDummit2004359-1] Даммит 2004 , стр. 359.

[1]