Лагранжев Грассманиан

В математике лагранжев грассманиан — это гладкое многообразие лагранжевых подпространств вещественного симплектического векторного V. пространства Его размерность ⁠ 1/2 + ⁠ n 1) ( ( n где размерность V равна 2n ). Его можно отождествить с однородным пространством

U(п)/О(п)

,

где $U(n)$ — унитарная группа , а $O(n)$ — ортогональная группа . Вслед за Владимиром Арнольдом его обозначают Λ( n ). является подмногообразием обычного Грассманиана V Лагранжев Грассманиан .

Комплексный лагранжев грассманиан — это комплексное однородное многообразие лагранжевых подпространств комплексного симплектического векторного пространства V размерности 2 n . Его можно отождествить с однородным пространством комплексной размерности. ⁠ 1/2 ⁠ 1 n ( ) n +

Sp(n)/U(n)

,

где $Sp(n)$ — компактная симплектическая группа .

Как однородное пространство

Чтобы увидеть, что лагранжев грассманиан Λ( n ) можно отождествить с $U(n)/O(n)$ , обратите внимание, что $\mathbb {C} ^{n}$ представляет собой 2 n -мерное действительное векторное пространство, мнимая часть его обычного скалярного произведения превращает его в симплектическое векторное пространство. Лагранжевы подпространства $\mathbb {C} ^{n}$ тогда являются реальными подпространствами $L\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ действительной размерности n, на которой мнимая часть скалярного произведения обращается в нуль. Примером является $\mathbb {R} ^{n}\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ . Унитарная группа $U(n)$ действует транзитивно на множестве этих подпространств, а стабилизатор $\mathbb {R} ^{n}$ ортогональная группа $\mathrm {O} (n)\subseteq \mathrm {U} (n)$ . Из теории однородных пространств следует , что Λ( n ) изоморфно $U(n)/O(n)$ как однородному пространству $U(n)$ .

Топология

Стабильная топология лагранжева грассманиана и комплексного лагранжева грассманиана полностью понятна, поскольку эти пространства фигурируют в теореме о периодичности Ботта : $\Omega (\mathrm {Sp} /\mathrm {U} )\simeq \mathrm {U} /\mathrm {O}$ , и $\Omega (\mathrm {U} /\mathrm {O} )\simeq \mathbb {Z} \times \mathrm {BO}$ – таким образом, они являются в точности гомотопическими группами стабильной ортогональной группы с точностью до сдвига индексации (размерности).

В частности, основная группа $U/O$ является бесконечной циклической . Поэтому его первая группа гомологий также является бесконечной циклической, как и его первая группа когомологий с выделенным генератором, заданным квадратом определителя унитарной матрицы , как отображение на единичный круг . Арнольд показал, что это приводит к описанию индекса Маслова , введенного В. П. Масловым .

Для лагранжевого подмногообразия M в V действительно существует отображение

M\to \Lambda (n)

которое классифицирует его касательное пространство в каждой точке (ср. Отображение Гаусса ). Индекс Маслова — это откат через это отображение, в

H^{1}(M,\mathbb {Z} )

выдающегося генератора

H^{1}(\Lambda (n),\mathbb {Z} )

.

Maslov index

Пути симплектоморфизмов симплектического векторного пространства можно поставить в соответствие индекс Маслова , названный в честь В. П. Маслова ; это будет целое число, если путь представляет собой цикл, и вообще полуцелое число.

Если этот путь возникает в результате тривиализации симплектического векторного расслоения над периодической орбитой гамильтонова векторного поля на симплектическом многообразии или векторного поля Риба на контактном многообразии , он известен как индекс Конли – Цендера . Он вычисляет спектральный поток операторов типа Коши–Римана , возникающих в гомологиях Флоера . ^[1]

Первоначально оно появилось при изучении приближения ВКБ и часто появляется при изучении квантования , формул следов квантового хаоса , а также в симплектической геометрии и топологии. Его можно описать, как указано выше, в терминах индекса Маслова для линейных лагранжевых подмногообразий.

Ссылки

^ Вендл, Крис. «Лекции по симплектической теории поля». arXiv : 1612.01009 .

V. I. Arnold, Characteristic class entering in quantization conditions , Funktsional'nyi Analiz i Ego Prilozheniya, 1967 , 1,1, 1-14, два : 10.1007/BF01075861 .
Маслов В. П. , Теория возмущений и асимптотические методы . 1972 год
Раницки, Эндрю, Домашняя страница индекса Маслова , заархивировано из оригинала 1 декабря 2015 г. , получено 23 октября 2009 г. Различные исходные материалы, относящиеся к индексу Маслова.

[1] Вендл, Крис. «Лекции по симплектической теории поля». arXiv : 1612.01009 .

[1]