Теорема Римана об отображении

В комплексном анализе теорема об отображении Римана утверждает, что если $U$ — непустое односвязное открытое подмножество комплексной числовой плоскости. $\mathbb {C}$ что это еще не все $\mathbb {C}$, то существует биголоморфное отображение $f$ (т.е. биективное голоморфное отображение, обратное которому также голоморфно) из $U$ на открытый диск модуля

$D=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}.$

Это отображение известно как отображение Римана .

Интуитивно, условие, что $U$ быть односвязным означает, что $U$ не содержит никаких «дырок». Тот факт, что $f$ биголоморфно, означает, что это конформное отображение и, следовательно, сохраняет угол. Такую карту можно интерпретировать как сохраняющую форму любой достаточно маленькой фигуры, при этом возможно ее вращение и масштабирование (но не отражение).

Анри Пуанкаре доказал, что карта $f$ уникален с точностью до вращения и повторного центрирования: если $z_{0}$ является элементом $U$ и $\phi$ — произвольный угол, то существует ровно один f , как указано выше, такой, что $f(z_{0})=0$ и такой, что аргумент производной $f$ в точку $z_{0}$ равно $\phi$. Это простое следствие леммы Шварца .

Как следствие теоремы, любые два односвязных открытых подмножества сферы Римана , у которых нет хотя бы двух точек сферы, могут быть конформно отображены друг в друга.

История

Теорема была сформулирована (в предположении, граница что $U$ кусочно гладко) Бернхардом Риманом в 1851 году в его докторской диссертации. Ларс Альфорс однажды написал по поводу первоначальной формулировки теоремы, что она «в конечном итоге сформулирована в терминах, которые не поддаются никаким попыткам доказательства, даже с помощью современных методов». Ошибочное доказательство Римана зависело от принципа Дирихле (названного самим Риманом), который в то время считался обоснованным. Однако Карл Вейерштрасс обнаружил, что этот принцип не является универсальным. Позже Давиду Гильберту удалось доказать, что в значительной степени принцип Дирихле справедлив в рамках гипотезы, с которой работал Риман. Однако для того, чтобы быть действительным, принцип Дирихле нуждается в определенных гипотезах относительно границы $U$ (а именно, что это жордановая кривая), которые не справедливы для односвязных областей вообще .

Первое строгое доказательство теоремы было дано Уильямом Фоггом Осгудом в 1900 году. Он доказал существование функции Грина в произвольных односвязных областях, отличных от $\mathbb {C}$ сам; это установило теорему об отображении Римана.

Константин Каратеодори дал еще одно доказательство теоремы в 1912 году, которое было первым, которое опиралось исключительно на методы теории функций, а не теории потенциала . В его доказательстве использовалась концепция нормальных семей Монтеля, которая стала стандартным методом доказательства в учебниках. Каратеодори продолжил в 1913 году, решив дополнительный вопрос о том, можно ли расширить отображение Римана между областями до гомеоморфизма границ (см. теорему Каратеодори ).

В доказательстве Каратеодори использовались римановы поверхности упростил его , и два года спустя Пол Кебе так, что они не потребовались. Другое доказательство, принадлежащее Липоту Фейеру и Фриджесу Риссу , было опубликовано в 1922 году и было несколько короче предыдущих. В этом доказательстве, как и в доказательстве Римана, искомое отображение получено как решение экстремальной задачи. Доказательство Фейера-Рисса было дополнительно упрощено Александром Островским и Каратеодори.

Важность

Следующие моменты подробно описывают уникальность и силу теоремы Римана об отображении:

• Даже относительно простые отображения Римана (например, отображение внутренней части круга во внутреннюю часть квадрата) не имеют явной формулы, использующей только элементарные функции .
• Односвязные открытые множества на плоскости могут быть весьма сложными, например, граница может представлять собой нигде не дифференцируемую фрактальную кривую бесконечной длины, даже если само множество ограничено. Одним из таких примеров является кривая Коха . Тот факт, что такой набор может быть отображен с сохранением угла на красивый и правильный единичный диск, кажется нелогичным.
• Аналог теоремы об отображении Римана для более сложных областей неверен. Следующий простейший случай — двусвязные домены (домены с одной дыркой). Любая двусвязная область, за исключением проколотого диска и проколотой плоскости, конформно эквивалентна некоторому кольцу. $\{z:r<|z|<1\}$ с $0<r<1$ нет конформных отображений, , однако между кольцами кроме инверсии и умножения на константы, поэтому кольцо $\{z:1<|z|<2\}$ не конформно эквивалентно кольцу $\{z:1<|z|<4\}$ (что можно доказать с помощью экстремальной длины ).
• Аналог теоремы Римана об отображении в трёх и более вещественных измерениях неверен. Семейство конформных отображений в трех измерениях очень бедно и по существу содержит только преобразования Мёбиуса (см. теорему Лиувилля ).
• Даже если произвольные гомеоморфизмы допускаются в более высоких размерностях, можно найти стягиваемые многообразия , не гомеоморфные шару ( например, континуум Уайтхеда ).
• Аналог теоремы об отображении Римана в нескольких комплексных переменных также неверен. В $\mathbb {C} ^{n}$ ( $n\geq 2$), шар и полидиск односвязны, но между ними нет биголоморфного отображения.

Доказательство через нормальные семьи

Основная статья: Нормальные семьи

Простое подключение

Теорема. Для открытого домена $G\subset \mathbb {C}$ следующие условия эквивалентны:

1. $G$ просто связан;
2. интеграл каждой голоморфной функции $f$ вокруг замкнутой кусочно гладкой кривой в $G$ исчезает;
3. каждая голоморфная функция в $G$ – производная голоморфной функции;
4. любая никуда не исчезающая голоморфная функция $f$ на $G$ имеет голоморфный логарифм;
5. любая никуда не исчезающая голоморфная функция $g$ на $G$ имеет голоморфный квадратный корень;
6. для любого $w\notin G$, витков число $w$ для любой кусочно-гладкой замкнутой кривой в $G$ является $0$;
7. дополнение $G$ в расширенной комплексной плоскости $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ подключен.

(1) ⇒ (2), поскольку любая непрерывная замкнутая кривая с базовой точкой $a\in G$, может быть непрерывно деформирован до постоянной кривой $a$. Таким образом, линейный интеграл от $f\,\mathrm {d} z$ над кривой $0$.

(2) ⇒ (3) поскольку интеграл по любому кусочно гладкому пути $\gamma$ от $a$ к $z$ может использоваться для определения примитива.

(3) ⇒ (4) путем интегрирования $f^{-1}\,\mathrm {d} f/\mathrm {d} z$ вдоль $\gamma$ от $a$ к $x$ дать ветвь логарифма.

(4) ⇒ (5), извлекая квадратный корень как $g(z)=\exp(f(x)/2)$ где $f$ является голоморфным выбором логарифма.

(5) ⇒ (6), потому что если $\gamma$ представляет собой кусочно-замкнутую кривую и $f_{n}$ являются последовательными квадратными корнями из $z-w$ для $w$ снаружи $G$, то число витков $f_{n}\circ \gamma$ о $w$ является $2^{n}$ раз количество витков $\gamma$ о $0$. Отсюда число витков $\gamma$ о $w$ должно делиться на $2^{n}$ для всех $n$, поэтому оно должно быть равно $0$.

(6) ⇒ (7), иначе расширенная плоскость $\mathbb {C} \cup \{\infty \}\setminus G$ можно записать как непересекающееся объединение двух открытых и закрытых множеств. $A$ и $B$ с $\infty \in B$ и $A$ ограничено. Позволять $\delta >0$ быть кратчайшим евклидовым расстоянием между $A$ и $B$ и построим квадратную сетку на $\mathbb {C}$ с длиной $\delta /4$ с точкой $a$ из $A$ в центре площади. Позволять $C$ — компакт объединения всех квадратов с расстоянием $\leq \delta /4$ от $A$. Затем $C\cap B=\varnothing$ и $\partial C$ не встречается $A$ или $B$: он состоит из конечного числа горизонтальных и вертикальных сегментов в $G$ образуя конечное число замкнутых прямоугольных путей $\gamma _{j}\in G$. принимая $C_{i}$ быть все квадраты, покрывающие $A$, затем ${\frac {1}{2\pi }}\int _{\partial C}\mathrm {d} \mathrm {arg} (z-a)$ равна сумме витковых чисел $C_{i}$ над $a$, тем самым давая $1$. С другой стороны, сумма витковых чисел $\gamma _{j}$ о $a$ равно $1$. Отсюда число витков хотя бы одного из $\gamma _{j}$ о $a$ не равно нулю.

(7) ⇒ (1) Это чисто топологический аргумент. Позволять $\gamma$ — кусочно-гладкая замкнутая кривая, основанная на $z_{0}\in G$. По аппроксимации γ принадлежит тому же гомотопическому классу, что и прямоугольный путь на квадратной сетке длины $\delta >0$ на базе $z_{0}$; такой прямоугольный путь определяется последовательностью $N$ последовательно направленные вертикальные и горизонтальные стороны. Индукцией по $N$, такой путь можно деформировать до постоянного пути в углу сетки. Если путь пересекается в точке $z_{1}$, то он распадается на два прямоугольных пути длины $<N$, и, таким образом, может быть деформирован до постоянного пути в точке $z_{1}$ по предположению индукции и элементарным свойствам фундаментальной группы . Аргументация следует за «северо-восточным аргументом»: на несамопересекающемся пути будет угол $z_{0}$ с наибольшей реальной частью (восточный), а затем среди тех, у кого самая большая мнимая часть (северный). Если необходимо, изменив направление, путь идет от $z_{0}-\delta$ к $z_{0}$ а затем $w_{0}=z_{0}-in\delta$ для $n\geq 1$ а затем идет налево к $w_{0}-\delta$. Позволять $R$ быть открытым прямоугольником с этими вершинами. Число витков пути равно $0$ для точек справа от вертикального отрезка от $z_{0}$ к $w_{0}$ и $-1$ для точек вправо; и, следовательно, внутри $R$. Так как номер обмотки $0$ выключенный $G$, $R$ лежит в $G$. Если $z$ является точкой пути, она должна лежать в $G$; если $z$ включен $\partial R$ но не на пути, по непрерывности извилистый номер пути о $z$ является $-1$, так $z$ также должен лежать в $G$. Следовательно $R\cup \partial R\subset G$. Но в этом случае путь можно деформировать, заменив три стороны прямоугольника четвертой, в результате чего сторон станет на две меньше (с допустимыми самопересечениями).

Теорема Римана об отображении

• Теорема Вейерштрасса о сходимости. Равномерный предел на компактах последовательности голоморфных функций голоморфен; аналогично для деривативов.

Это непосредственное следствие теоремы Мореры для первого утверждения. Интегральная формула Коши дает формулу для производных, которую можно использовать для проверки того, что производные также сходятся равномерно на компактах.

• Теорема Гурвица . Если последовательность никуда не исчезающих голоморфных функций в открытой области имеет равномерный предел на компактах, то либо предел равен тождественному нулю, либо предел никуда не обращается. Если последовательность однолистных голоморфных функций в открытой области имеет равномерный предел на компактах, то либо предел постоянен, либо предел однолистен.

Если предельная функция отлична от нуля, то ее нули необходимо изолировать. Нули с кратностями можно посчитать по номеру обмотки ${\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}g^{-1}(z)g'(z)\mathrm {d} z$ для голоморфной функции $g$. Следовательно, числа витков непрерывны в однородных пределах, так что если каждая функция в последовательности не имеет нулей, то и предел не может быть. Для второго утверждения предположим, что $f(a)=f(b)$ и установить $g_{n}(z)=f_{n}(z)-f_{n}(a)$. Они никуда не исчезают на диске, но $g(z)=f(z)-f(a)$ исчезает в $b$, так $g$ должно исчезнуть тождественно.

Определения. Семья ${\cal {F}}$ голоморфных функций в открытой области называется нормальной , если любая последовательность функций из ${\cal {F}}$ имеет подпоследовательность, сходящуюся к голоморфной функции равномерно на компактах. Семья ${\cal {F}}$ компактна , если всякий раз, когда последовательность $f_{n}$ лежит в ${\cal {F}}$ и сходится равномерно к $f$ на компактном, тогда $f$ также лежит в ${\cal {F}}$. Семья ${\cal {F}}$ называются локально ограниченными , если их функции равномерно ограничены на каждом компакте. Дифференцируя интегральную формулу Коши , следует, что производные локально ограниченного семейства также локально ограничены.

• Теорема Монтеля . Каждое локально ограниченное семейство голоморфных функций в области $G$ это нормально.

Позволять $f_{n}$ быть полностью ограниченной последовательностью и выбрать счетное плотное подмножество $w_{m}$ из $G$. Благодаря локальной ограниченности и « диагональному аргументу » подпоследовательность можно выбрать так, что $g_{n}$ сходится в каждой точке $w_{m}$. Необходимо проверить, что эта последовательность голоморфных функций сходится на $G$ равномерно на каждом компакте $K$. Брать $E$ открыть с $K\subset E$ такое, что закрытие $E$ компактен и содержит $G$. Поскольку последовательность $\{g_{n}'\}$ локально ограничен, $|g_{n}'|\leq M$ на $E$. По компактности, если $\delta >0$ берется достаточно малым, конечное число открытых дисков $D_{k}$ радиуса $\delta >0$ обязаны покрыть $K$ оставаясь в $E$. С

$g_{n}(b)-g_{n}(a)=\int _{a}^{b}g_{n}^{\prime }(z)\,dz$,

у нас есть это $|g_{n}(a)-g_{n}(b)|\leq M|a-b|\leq 2\delta M$. Теперь для каждого $k$ выберите несколько $w_{i}$ в $D_{k}$ где $g_{n}(w_{i})$ сходится, возьми $n$ и $m$ настолько большой, чтобы быть внутри $\delta$ своего предела. Тогда для $z\in D_{k}$,

$|g_{n}(z)-g_{m}(z)|\leq |g_{n}(z)-g_{n}(w_{i})|+|g_{n}(w_{i})-g_{m}(w_{i})|+|g_{m}(w_{1})-g_{m}(z)|\leq 4M\delta +2\delta .$

Отсюда последовательность $\{g_{n}\}$ образует последовательность Коши в равномерной норме на $K$ по мере необходимости.

• Теорема Римана об отображении. Если $G\neq \mathbb {C}$ представляет собой односвязную область и $a\in G$, существует единственное конформное отображение $f$ из $G$ на диск устройства $D$ нормализовано так, что $f(a)=0$ и $f'(a)>0$.

Единственность отсюда следует, потому что если $f$ и $g$ удовлетворял те же условия, $h=f\circ g^{-1}$ было бы однолистным голоморфным отображением единичного круга с $h(0)=0$ и $h'(0)>0$. Но по лемме Шварца однолистные голоморфные отображения единичного круга на самого себя задаются преобразованиями Мёбиуса

$k(z)=e^{i\theta }(z-\alpha )/(1-{\overline {\alpha }}z)$

с $|\alpha |<1$. Так $h$ должна быть идентификационная карта и $f=g$.

Чтобы доказать существование, возьмем ${\cal {F}}$ быть семейством голоморфных однолистных отображений $f$ из $G$ на открытый модульный диск $D$ с $f(a)=0$ и $f'(a)>0$. По теореме Монтеля это нормальное семейство. По характеристике простой связности для $b\in \mathbb {C} \setminus G$ существует голоморфная ветвь квадратного корня $h(z)={\sqrt {z-b}}$ в $G$. Он одновалентен и $h(z_{1})\neq -h(z_{2})$ для $z_{1},z_{2}\in G$. С $h(G)$ должен содержать закрытый диск $\Delta$ с центром $h(a)$ и радиус $r>0$, нет точек $-\Delta$ может лежать в $h(G)$. Позволять $F$ — единственное преобразование Мёбиуса, принимающее $\mathbb {C} \setminus -\Delta$ на $D$ с нормализацией $F(h(a))=0$ и $F'(h(a))>0$. По конструкции $F\circ h$ находится в ${\cal {F}}$, так что ${\cal {F}}$ не пуст . Метод Кебе заключается в использовании экстремальной функции для создания конформного отображения, решающего задачу: в этой ситуации ее часто называют Альфорса функцией G в честь Альфорса . Позволять $0<M\leq \infty$ быть верховной властью $f'(a)$ для $f\in {\cal {F}}$. Выбирать $f_{n}\in {\cal {F}}$ с $f_{n}'(a)$ склонен к $M$. По теореме Монтеля, переходя при необходимости к подпоследовательности, $f_{n}$ стремится к голоморфной функции $f$ равномерно на компактах. По теореме Гурвица $f$ либо одновалентен, либо постоянен. Но $f$ имеет $f(a)=0$ и $f'(a)>0$. Так $M$ конечно, равно $f'(a)>0$ и ${f\in {\cal {F}}}$. Осталось проверить, что конформное отображение $f$ берет $G$ на $D$. Если нет, возьми $c\neq 0$ в $D\setminus f(G)$ и пусть $H$ быть голоморфным квадратным корнем из $(f(z)-c)/(1-{\overline {c}}f(z))$ на $G$. Функция $H$ унивалентен и отображает $G$ в $D$. Позволять

$F(z)={\frac {e^{i\theta }(H(z)-H(a))}{1-{\overline {H(a)}}H(z)}},$

где $H'(a)/|H'(a)|=e^{-i\theta }$. Затем $F\in {\cal {F}}$ и рутинные вычисления показывают, что

$F'(a)=H'(a)/(1-|H(a)|^{2})=f'(a)\left({\sqrt {|c|}}+{\sqrt {|c|^{-1}}}\right)/2>f'(a)=M.$

Это противоречит максимальности $M$, так что $f$ должен принимать все значения в $D$.

Замечание. Как следствие теоремы Римана об отображении, каждая односвязная область на плоскости гомеоморфна единичному кругу. Если точки опущены, это следует из теоремы. Для всей плоскости гомеоморфизм $\phi (x)=z/(1+|z|)$ дает гомеоморфизм $\mathbb {C}$ на $D$.

Параллельные отображения разрезов

Теорема Кебе об униформизации для нормальных семейств также обобщается и дает униформизаторы. $f$ для многосвязных областей к конечным параллельным областям с разрезами , где щели имеют угол $\theta$ к оси х . Таким образом, если $G$ это домен в $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ содержащий $\infty$ и ограниченной конечным числом жордановых контуров, существует единственная однолистная функция $f$ на $G$ с

$f(z)=z^{-1}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots$

около $\infty$, максимизация $\mathrm {Re} (e^{-2i\theta }a_{1})$ и иметь имидж $f(G)$ область параллельной щели с углом $\theta$ к оси х .

Первое доказательство того, что параллельные разрезные области являются каноническими областями для многосвязного случая, было дано Дэвидом Гильбертом в 1909 году. Дженкинс (1958) в своей книге об однолистных функциях и конформных отображениях дал трактовку, основанную на работах Герберта Гретча и Герберта Грёча и Рене де Поссель начала 1930-х годов; это был предшественник квазиконформных отображений и квадратичных дифференциалов , позже развитых как техника экстремальной метрики благодаря Освальду Тейхмюллеру . Менахем Шиффер предложил трактовку, основанную на очень общих вариационных принципах , обобщенную в выступлениях, которые он давал на Международном конгрессе математиков в 1950 и 1958 годах. В теореме о «граничной вариации» (чтобы отличить ее от «внутренней вариации») он вывел дифференциальное уравнение и неравенство, основанное на теоретико-мерной характеристике отрезков прямых, предложенной Утредом Шаттлвортом Хасламом-Джонсом в 1936 году. Доказательство Хаслама-Джонса считалось трудным, и удовлетворительное доказательство было дано только в середине 1970-х годов Шобер и Кэмпбелл-Ламурё.

Шифф (1993) дал доказательство униформизации для параллельных областей с разрезами, которое было похоже на теорему об отображении Римана. Для упрощения обозначений будем брать горизонтальные щели. Во-первых, по неравенству Бибербаха любая однолистная функция

$g(z)=z+cz^{2}+\cdots$

с $z$ в открытом юнит-диске должен удовлетворять $|c|\leq 2$. Как следствие, если

$f(z)=z+a_{0}+a_{1}z^{-1}+\cdots$

является одновалентным в $|z|>R$, затем $|f(z)-a_{0}|\leq 2|z|$. Чтобы увидеть это, возьмите $S>R$ и установить

$g(z)=S(f(S/z)-b)^{-1}$

для $z$ на единичном диске, выбрав $b$ поэтому знаменатель никуда не исчезает, и применим лемму Шварца . Далее функция $f_{R}(z)=z+R^{2}/z$ характеризуется «экстремальным условием» как единственной однолистной функцией в $z>R$ формы $z+a_{1}z^{-1}+\cdots$ это максимизирует $\mathrm {Re} (a_{1})$: это непосредственное следствие теоремы о площади Грёнвалля , примененной к семейству однолистных функций. $f(zR)/R$ в $z>1$.

Чтобы доказать теперь, что многосвязная область $G\subset \mathbb {C} \cup \{\infty \}$ может быть униформизировано с помощью конформного отображения с горизонтальной параллельной щелью

$f(z)=z+a_{1}z^{-1}+\cdots$,

брать $R$ достаточно большой, чтобы $\partial G$ лежит на открытом диске $|z|<R$. Для $S>R$, однолистность и оценка $|f(z)|\leq 2|z|$ подразумевать, что если $z$ лежит в $G$ с $|z|\leq S$, затем $|f(z)|\leq 2S$. Поскольку семейство однолистных $f$ локально ограничены в $G\setminus \{\infty \}$, по теореме Монтеля они образуют нормальное семейство. Кроме того, если $f_{n}$ находится в семье и имеет тенденцию $f$ равномерно на компактах, тогда $f$ также принадлежит семейству, и каждый коэффициент разложения Лорана при $\infty$ принадлежащий $f_{n}$ стремится к соответствующему коэффициенту $f$. В частности, это относится к коэффициенту: так что по компактности существует однолистный $f$ который максимизирует $\mathrm {Re} (a_{1})$. Чтобы проверить это

$f(z)=z+a_{1}+\cdots$

— требуемое преобразование параллельных щелей, предположим, доведение до абсурда что $f(G)=G_{1}$ имеет компактную и связную компоненту $K$ ее границы, не являющейся горизонтальной щелью. Тогда дополнение $G_{2}$ из $K$ в $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ просто связано с $G_{2}\supset G_{1}$. По теореме Римана об отображении существует конформное отображение

$h(w)=w+b_{1}w^{-1}+\cdots ,$

такой, что $h(G_{2})$ является $\mathbb {C}$ со снятой горизонтальной щелью. Итак, у нас есть это

$h(f(z))=z+(a_{1}+b_{1})z^{-1}+\cdots ,$

и таким образом $\mathrm {Re} (a_{1}+b_{1})\leq \mathrm {Re} (a_{1})$ по экстремальности $f$. Поэтому, $\mathrm {Re} (b_{1})\leq 0$. С другой стороны, по теореме Римана об отображении существует конформное отображение

$k(w)=w+c_{0}+c_{1}w^{-1}+\cdots ,$

отображение из $|w|>S$ на $G_{2}$. Затем

$f(k(w))-c_{0}=w+(a_{1}+c_{1})w^{-1}+\cdots .$

Ввиду строгой максимальности отображения щелей из предыдущего параграфа мы видим, что $\mathrm {Re} (c_{1})<\mathrm {Re} (b_{1}+c_{1})$, так что $\mathrm {Re} (b_{1})>0$. Два неравенства для $\mathrm {Re} (b_{1})$ противоречивы.

Доказательство единственности конформного преобразования параллельных щелей дано в работах Голузина (1969) и Грунского (1978) . Применение обратного преобразования Жуковского $h$ области горизонтальной щели, можно предположить, что $G$ представляет собой область, ограниченную единичным кругом $C_{0}$ и содержит аналитические дуги $C_{i}$ и изолированные точки (изображения других обратных преобразований Жуковского под другими параллельными горизонтальными щелями). Таким образом, приняв фиксированное $a\in G$, существует однолистное отображение

$F_{0}(w)=h\circ f(w)=(w-a)^{-1}+a_{1}(w-a)+a_{2}(w-a)^{2}+\cdots ,$

с изображением области с горизонтальной щелью. Предположим, что $F_{1}(w)$ это еще один униформизатор с

$F_{1}(w)=(w-a)^{-1}+b_{1}(w-a)+b_{2}(w-a)^{2}+\cdots .$

Изображения под $F_{0}$ или $F_{1}$ каждого $C_{i}$ имеют фиксированную координату y, как и горизонтальные сегменты. С другой стороны, $F_{2}(w)=F_{0}(w)-F_{1}(w)$ голоморфен в $G$. Если оно постоянно, то оно должно быть тождественно нулю, так как $F_{2}(a)=0$. Предполагать $F_{2}$ непостоянно, то по предположению $F_{2}(C_{i})$ все это горизонтальные линии. Если $t$ не находится ни в одной из этих строк, принцип аргументации Коши показывает, что число решений уравнения $F_{2}(w)=t$ в $G$ равен нулю (любой $t$ в конечном итоге будет окружен контурами в $G$ близко к $C_{i}$х). Это противоречит тому, что непостоянная голоморфная функция $F_{2}$ является открытым отображением .

Доказательство эскиза с помощью задачи Дирихле

Данный $U$ и точка $z_{0}\in U$, мы хотим построить функцию $f$ какие карты $U$ на диск устройства и $z_{0}$ к $0$. В этом наброске мы будем предполагать, что U ограничено и его граница гладкая, как это делал Риман. Писать

$f(z)=(z-z_{0})e^{g(z)},$

где $g=u+iv$ — некоторая (подлежит определению) голоморфная функция с вещественной частью $u$ и мнимая часть $v$. Тогда ясно, что $z_{0}$ это единственный ноль $f$. Нам требуется $|f(z)|=1$ для $z\in \partial U$, поэтому нам нужно

$u(z)=-\log |z-z_{0}|$

на границе. С $u$ — действительная часть голоморфной функции, мы знаем, что $u$ обязательно является гармонической функцией ; т. е. оно удовлетворяет уравнению Лапласа .

Тогда возникает вопрос: действительно ли гармоническая функция $u$ существует то, что определено на всех $U$ и имеет заданное граничное условие? Положительный ответ дает принцип Дирихле . Как только существование $u$ установлены уравнения Коши–Римана для голоморфной функции $g$ позвольте нам найти $v$ (этот аргумент зависит от предположения, что $U$ быть просто связанными). Один раз $u$ и $v$ построены, необходимо проверить, что полученная функция $f$ действительно обладает всеми необходимыми свойствами.

Теорема униформизации

Теорему о римановом отображении можно обобщить на контекст римановых поверхностей : если $U$ — непустое односвязное открытое подмножество римановой поверхности , то $U$ биголоморфен одному из следующих: сфере Римана , комплексной плоскости $\mathbb {C}$, или единичный диск $D$. Это известно как теорема униформизации .

Теорема о гладком отображении Римана

В случае односвязной ограниченной области с гладкой границей отображающая функция Римана и все ее производные продолжаются по непрерывности до замыкания области. Это можно доказать, используя свойства регулярности решений краевой задачи Дирихле, которые следуют либо из теории пространств Соболева для плоских областей , либо из классической теории потенциала . Другие методы доказательства теоремы о гладком отображении Римана включают теорию ядерных функций. или уравнение Бельтрами .

Алгоритмы

Вычислительное конформное отображение занимает видное место в задачах прикладного анализа и математической физики, а также в инженерных дисциплинах, таких как обработка изображений.

В начале 1980-х годов был открыт элементарный алгоритм вычисления конформных отображений. Указанные баллы $z_{0},\ldots ,z_{n}$ на плоскости алгоритм вычисляет явное конформное отображение единичного круга на область, ограниченную жордановой кривой $\gamma$ с $z_{0},\ldots ,z_{n}\in \gamma .$ Этот алгоритм сходится для регионов Иордании. в смысле равномерно близких границ. Имеются соответствующие равномерные оценки на замкнутой области и замкнутом круге для отображающих функций и обратных к ним. Улучшенные оценки получаются, если точки данных лежат на $C^{1}$ кривая или K - квазикруг . Алгоритм был открыт как приближенный метод конформной сварки; однако его также можно рассматривать как дискретизацию дифференциального уравнения Лёвнера .

О численной аппроксимации конформного отображения между двумя плоскими областями известно следующее.

Положительные результаты:

• Существует алгоритм A, который вычисляет униформизирующее отображение в следующем смысле. Позволять $\Omega$ быть ограниченной односвязной областью и $w_{0}\in \Omega$. $\partial \Omega$ предоставляется A оракулом, представляющим его в пиксельной форме (т. е. если экран разделен на $2^{n}\times 2^{n}$ пикселей, оракул может сказать, принадлежит ли каждый пиксель границе или нет). Затем A вычисляет абсолютные значения униформизирующей карты $\phi :(\Omega ,w_{0})\to (D,0)$ с точностью $2^{-n}$ в пространстве, ограниченном $Cn^{2}$ и время $2^{O(n)}$, где $C$ зависит только от диаметра $\Omega$ и $d(w_{0},\partial \Omega ).$ Кроме того, алгоритм вычисляет значение $\phi (w)$ с точностью $2^{-n}$ пока $|\phi (w)|<1-2^{-n}.$ Более того, A запросы $\partial \Omega$ с точностью не более $2^{-O(n)}.$ В частности, если $\partial \Omega$ является ли полиномиальное пространство вычислимым в пространстве $n^{a}$ для некоторой константы $a\geq 1$ и время $T(n)<2^{O(n^{a})},$ тогда A можно использовать для вычисления униформизирующей карты в пространстве $C\cdot n^{\max(a,2)}$ и время $2^{O(n^{a})}.$

• Существует алгоритм A', который вычисляет униформизирующее отображение в следующем смысле. Позволять $\Omega$ быть ограниченной односвязной областью и $w_{0}\in \Omega .$ Предположим, что для некоторого $n=2^{k},$ $\partial \Omega$ передается A' с точностью ${\tfrac {1}{n}}$ к $O(n^{2})$ пикселей. Затем A' вычисляет абсолютные значения униформизирующей карты $\phi :(\Omega ,w_{0})\to (D,0)$ в пределах ошибки $O(1/n)$ в рандомизированном пространстве, ограниченном $O(k)$ и полином по времени $n=2^{k}$ (то есть с помощью BPL( n )-машины). Кроме того, алгоритм вычисляет значение $\phi (w)$ с точностью ${\tfrac {1}{n}}$ пока $|\phi (w)|<1-{\tfrac {1}{n}}.$

Отрицательные результаты:

• Предположим, существует алгоритм A, который для заданной односвязной области $\Omega$ с вычислимой границей за линейное время и внутренним радиусом $>1/2$ и номер $n$ вычисляет первый $20n$ цифры конформного радиуса $r(\Omega ,0),$ тогда мы можем использовать один вызов A для решения любого экземпляра #SAT ( n ) с линейными затратами времени. Другими словами, #P можно свести за поли-время к вычислению конформного радиуса множества.

• Рассмотрим задачу вычисления конформного радиуса односвязной области $\Omega ,$ где граница $\Omega$ дано с точностью $1/n$ путем явного набора $O(n^{2})$ пикселей. Обозначим задачу вычисления конформного радиуса с точностью $1/n^{c}$ к ${\texttt {CONF}}(n,n^{c}).$ Затем, ${\texttt {MAJ}}_{n}$ сводится ли AC0 к ${\texttt {CONF}}(n,n^{c})$ для любого $0<c<{\tfrac {1}{2}}.$

См. также

• Теорема об измеримом отображении Римана
• Отображение Шварца – Кристоффеля – конформное преобразование верхней полуплоскости во внутреннюю часть простого многоугольника.
• Конформный радиус

Ссылки

• Альфорс, Ларс В. (1978), Комплексный анализ. Введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной , Международная серия по чистой и прикладной математике (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN  0070006571
• Бердон, Алан Ф. (1979), Комплексный анализ. Принцип аргументации в анализе и топологии , John Wiley & Sons, ISBN  0471996718
• Белл, Стивен Р. (1992), Преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение , Исследования по высшей математике, CRC Press, ISBN  0-8493-8270-Х
• Беренштейн, Карлос А.; Гей, Роджер (1991), Комплексные переменные. Введение , Тексты для выпускников по математике, том. 125, Шпрингер-Верлаг , ISBN  0387973494
• Каратеодори, К. (1912), «Исследования конформных отображений фиксированных и переменных областей» , Mathematical Annals , 72 : 107–144, doi : 10.1007/bf01456892 , S2CID   115544426
• Конвей, Джон Б. (1978), Функции одной комплексной переменной , Springer-Verlag , ISBN  0-387-90328-3
• Конвей, Джон Б. (1995), Функции одной комплексной переменной II , Springer-Verlag , ISBN  0-387-94460-5
• Дюрен, П.Л. (1980), «Экстремальные задачи для однолистных функций», в Браннане, Д.А.; Клюни, Дж. Г. (ред.), Аспекты современного комплексного анализа , Academic Press, стр. 181–208, ISBN  9780121259501
• Дюрен, П.Л. (1983), Однолистные функции , Основы математических наук, вып. 259, Springer Verlag, ISBN  0-387-90795-5
• Гамелен, Теодор В. (2001), Комплексный анализ , Тексты для студентов по математике, Springer, ISBN  0-387-95069-9
• Голузин Г.М. (1969), Геометрическая теория функций комплексного переменного , Переводы математических монографий, вып. 26, Американское математическое общество
• Грей, Джереми (1994), «К истории теоремы об отображении Римана» (PDF) , Отчеты Математического цирка Палермо. Серия II. Приложение (34): 47–94, МР   1295591.
• Грин, Роберт Э .; Ким, Кан-Тэ (2017), «Теорема об отображении Римана с точки зрения Римана», Комплексный анализ и его синергия , 3 , arXiv : 1604.04071 , doi : 10.1186/s40627-016-0009-7
• Гретч, Герберт (1932), «О теореме о параллельных щелях конформного отображения простых областей», отчеты о переговорах Саксонской академии наук в Лейпциге, Mathematik-Physische Klasse (на немецком языке), 84 : 15–36, Збл   0005.06802
• Грунский, Гельмут (1978), Лекции по теории функций в многосвязных областях , Studia Mathematica, vol. 4, Ванденхук и Рупрехт, ISBN  978-3-525-40142-2
• Янич, Клаус (1993), теория функций. Введение , учебник Springer (на немецком языке) (3-е изд.), Springer-Verlag , ISBN  3540563377
• Дженкинс, Джеймс А. (1958), Однолистные функции и конформное отображение. , Результаты математики и ее границ, вып. 18, Шпрингер Верлаг
• Кодайра, Кунихико (2007), Комплексный анализ , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 107, Издательство Кембриджского университета, ISBN  9780521809375
• Кранц, Стивен Г. (2006), «Теорема Римана об отображении и ее обобщения», Геометрическая теория функций , Биркхойзер , стр. 83–108, ISBN  0-8176-4339-7
• Лахтакия, Ахлеш ; Варадан, Виджай К.; Мессье, Рассел; Варадан, Васундара (1987), «Обобщения и рандомизация плоской кривой Коха», Journal of Physics A: Mathematical and General , 20 (11): 3537–3541, doi : 10.1088/0305-4470/20/11/052
• Нехари, Зеев (1952), Конформное отображение , Dover Publications , ISBN  9780486611372
• Осгуд, В. Ф. (1900), «О существовании функции Грина для наиболее общей односвязной плоской области», Труды Американского математического общества , 1 (3), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 310–314, doi : 10.2307/1986285 , ISSN   0002-9947 , JFM   31.0420.01 , JSTOR   1986285
• де Поссель, Рене (1931), «О теории параллельных слотов бесконечно кратных связных областей» , Новости Общества наук в Геттингене, Математико-физический класс (на немецком языке): 199–202.
• Реммерт, Рейнхольд (1998), Классические темы теории комплексных функций , перевод Лесли М. Кей , Springer-Verlag , ISBN  0-387-98221-3
• Риман, Бернхард (1851), Основы общей теории функций переменной комплексной величины (PDF) (на немецком языке), Геттинген {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Шифф, Джоэл Л. (1993), Нормальные семьи , Universitext, Springer-Verlag , ISBN  0387979670
• Шобер, Гленн (1975), «Приложение C. Граничная вариация Шиффера и фундаментальная лемма», Одновалентные функции - избранные темы , Конспекты лекций по математике, том. 478, Springer-Verlag , стр. 181–190.
• Уолш, Дж. Л. (1973), «История теоремы об отображении Римана», The American Mathematical Monthly , 80 (3): 270–276, doi : 10.2307/2318448 , ISSN   0002-9890 , JSTOR   2318448 , MR   0323996

Внешние ссылки

• Долженко, Е.П. (2001) [1994], «Теорема Римана» , Энциклопедия Математики , EMS Press