Дифференциальное уравнение Лёвнера

В математике дифференциальное уравнение Левнера , или уравнение Левнера , представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение , открытое Чарльзом Левнером в 1923 году в области комплексного анализа и геометрической теории функций . Первоначально введенный для изучения щелевых отображений ( конформных отображений открытого диска на комплексную плоскость с удаленной кривой, соединяющей точки от 0 до ∞), метод Левнера был позже развит в 1943 году русским математиком Павлом Парфеневичем Куфаревым (1909–1968). Любое семейство областей в комплексной плоскости, которое непрерывно расширяется в смысле Каратеодори на всю плоскость, приводит к однопараметрическому семейству конформных отображений, называемому цепью Лёвнера , а также к двухпараметрическому семейству голоморфных самоотображений однолистных единичный круг , называемый полугруппой Левнера . Эта полугруппа соответствует зависящему от времени голоморфному векторному полю на диске, заданному однопараметрическим семейством голоморфных функций на диске с положительной вещественной частью. Полугруппа Лёвнера обобщает понятие однолистной полугруппы. .

Дифференциальное уравнение Левнера привело к неравенствам для однолистных функций, которые сыграли важную роль в решении гипотезы Бибербаха Луи де Бранжа в 1985 году. Сам Левнер использовал свои методы в 1923 году для доказательства гипотезы о третьем коэффициенте. Уравнение Шрамма -Лёвнера , стохастическое обобщение дифференциального уравнения Лёвнера, открытое Одедом Шраммом в конце 1990-х годов, получило широкое развитие в теории вероятностей и конформной теории поля .

Подчиненные однолистные функции

Позволять $f$ и $g$ — голоморфные однолистные функции на единичном круге $D$, $|z|<1$, с $f(0)=0=g(0)$.

$f$ говорят, что он находится подчинении в $g$ тогда и только тогда, когда существует однолистное отображение $\varphi$ из $D$ в себя фиксируя $0$ такой, что

$\displaystyle {f(z)=g(\varphi (z))}$

для $|z|<1$.

Необходимое и достаточное условие существования такого отображения $\varphi$ это что

$f(D)\subseteq g(D).$

Необходимость насущная.

Наоборот $\varphi$ должно быть определено

$\displaystyle {\varphi (z)=g^{-1}(f(z)).}$

По определению φ — однолистное голоморфное самоотображение $D$ с $\varphi (0)=0$.

Поскольку такое отображение удовлетворяет $0<|\varphi '(0)|\leq 1$ и берет каждый диск $D_{r}$, $|z|<r$ с $0<r<1$, в себя, отсюда следует, что

$\displaystyle {|f^{\prime }(0)|\leq |g^{\prime }(0)|}$

и

$\displaystyle {f(D_{r})\subseteq g(D_{r}).}$

Цепь Лёвнера

Для $0\leq t\leq \infty$ позволять $U(t)$ быть семейством открытых связных и односвязных подмножеств $\mathbb {C}$ содержащий $0$, такой, что

$U(s)\subsetneq U(t)$

если $s<t$,

$U(t)=\bigcup _{s<t}U(s)$

и

$U(\infty )=\mathbb {C} .$

Таким образом, если $s_{n}\uparrow t$,

$U(s_{n})\rightarrow U(t)$

в смысле теоремы Каратеодори о ядре .

Если $D$ обозначает единичный диск в $\mathbb {C}$, из этой теоремы следует, что единственные однолистные отображения $f_{t}(z)$

$f_{t}(D)=U(t),\,\,\,f_{t}(0)=0,\,\,\,\partial _{z}f_{t}(0)=1$

заданные теоремой Римана об отображении, равномерно непрерывны на компактных подмножествахиз $[0,\infty )\times D$.

Более того, функция $a(t)=f_{t}^{\prime }(0)$ положителен, непрерывен, строго возрастает и непрерывен.

Путем репараметризации можно предположить, что

$f_{t}^{\prime }(0)=e^{t}.$

Следовательно

$f_{t}(z)=e^{t}z+a_{2}(t)z^{2}+\cdots$

Однолистные отображения $f_{t}(z)$ называются цепочкой Лёвнера .

Теорема Кебе об искажении показывает, что знание цепочки эквивалентно свойствам открытых множеств. $U(t)$.

Полугруппа Лёвнера

Если $f_{t}(z)$ является цепью Лёвнера, то

$\displaystyle {f_{s}(D)\subsetneq f_{t}(D)}$

для $s<t$ так что существует уникальное однолистное самоотображение диска $\varphi _{s,t}(z)$ фиксация $0$ такой, что

$\displaystyle {f_{s}(z)=f_{t}(\varphi _{s,t}(z)).}$

По единственности отображения $\varphi _{s,t}$ обладают следующим свойством полугруппы:

$\displaystyle {\varphi _{t,r}\circ \varphi _{s,t}=\varphi _{s,r}}$

для $s\leq t\leq r$.

Они составляют полугруппу Лёвнера .

Самоотображения непрерывно зависят от $s$ и $t$ и удовлетворить

$\displaystyle {\varphi _{t,t}(z)=z.}$

Дифференциальное уравнение Лёвнера

Дифференциальное уравнение Лёвнера может быть получено либо для полугруппы Лёвнера, либо, что то же самое, для цепи Лёвнера.

Для полугруппы пусть

$\displaystyle {w_{s}(z)=\partial _{t}\varphi _{s,t}(z)|_{t=s}}$

затем

$\displaystyle {w_{s}(z)=-zp_{s}(z)}$

с

$\displaystyle {\Re \,p_{s}(z)>0}$

для $|z|<1$.

Затем $w(t)=\varphi _{s,t}(z)$ удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

$\displaystyle {{dw \over dt}=-wp_{t}(w)}$

с начальным состоянием $w(s)=z$.

Чтобы получить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет цепочка Лёвнера $f_{t}(z)$ Обратите внимание, что

$\displaystyle {f_{t}(z)=f_{s}(\varphi _{s,t}(z))}$

так что $f_{t}(z)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению

$\displaystyle {\partial _{t}f_{t}(z)=zp_{t}(z)\partial _{z}f_{t}(z)}$

с начальным состоянием

$\displaystyle {f_{t}(z)|_{t=0}=f_{0}(z).}$

Теорема Пикара –Линделёфа для обыкновенных дифференциальных уравнений гарантирует, что этиуравнения могут быть решены и что решения голоморфны по $z$.

Цепь Лёвнера можно восстановить из полугруппы Лёвнера, преходя к пределу:

$\displaystyle {f_{s}(z)=\lim _{t\rightarrow \infty }e^{t}\phi _{s,t}(z).}$

Наконец, учитывая любое одновалентное самоотображение $\psi (z)$ из $D$, фиксация $0$, можно построить полугруппу Лёвнера $\varphi _{s,t}(z)$ такой, что

$\displaystyle {\varphi _{0,1}(z)=\psi (z).}$

Аналогично, учитывая однолистную функцию $g$ на $D$ с $g(0)=0$, такой, что $g(D)$ содержит закрытый единичный диск, есть цепь Лёвнера $f_{t}(z)$ такой, что

$\displaystyle {f_{0}(z)=z,\,\,\,f_{1}(z)=g(z).}$

Результаты этого типа являются немедленными, если $\psi$ или $g$ непрерывно распространяться на $\partial D$. Они следуют, вообще говоря, заменой отображений $f(z)$ по приближениям $f(rz)/r$ а затем используя стандартный аргумент компактности.

Отображения разрезов

Голоморфные функции $p(z)$ на $D$ с положительной действительной частью и нормирован так, что $p(0)=1$ описаны Теорема Герглотца о представлении :

$\displaystyle {p(z)=\int _{0}^{2\pi }{1+e^{-i\theta }z \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\mu (\theta ),}$

где $\mu$ — вероятностная мера на окружности. Точечная мера выделяет функции

$\displaystyle {p_{t}(z)={1+\kappa (t)z \over 1-\kappa (t)z}}$

с $|\kappa (t)|=1$, которые первым рассмотрел Лёвнер (1923) .

Неравенства для однолистных функций на единичном круге можно доказать, используя плотность равномерной сходимости на компактных подмножествах щелевых отображений . Это конформные отображения единичного круга на комплексную плоскость с опущенной жордановой дугой, соединяющей конечную точку с ∞. Плотность определяется применением теоремы Каратеодори о ядре . Действительно, любая однолистная функция $f(z)$ аппроксимируется функциями

$\displaystyle {g(z)=f(rz)/r}$

которые переводят единичную окружность на аналитическую кривую. Точку на этой кривой можно соединить с бесконечностью жордановой дугой. Области, полученные путем исключения небольшого участка аналитической кривой по одну сторону от выбранной точки, сходятся к $g(D)$ поэтому соответствующие однолистные отображения $D$ на эти регионы сходятся к $g$ равномерно на компактах.

Чтобы применить дифференциальное уравнение Левнера к функции разреза $f$, опущенная жорданова дуга $c(t)$ от конечной точки до $\infty$ может быть параметризовано $[0,\infty )$ так что карта унивалентная карта $f_{t}$ из $D$ на $\mathbb {C}$ меньше $c([t,\infty ))$ имеет форму

$\displaystyle {f_{t}(z)=e^{t}(z+b_{2}(t)z^{2}+b_{3}(t)z^{3}+\cdots )}$

с $b_{n}$ непрерывный. В частности

$\displaystyle {f_{0}(z)=f(z).}$

Для $s\leq t$, позволять

$\displaystyle {\varphi _{s,t}(z)=f_{t}^{-1}\circ f_{s}(z)=e^{s-t}(z+a_{2}(s,t)z^{2}+a_{3}(s,t)z^{3}+\cdots )}$

с $a_{n}$ непрерывный.

Это дает цепь Лёвнера и полугруппу Лёвнера с

$\displaystyle {p_{t}(z)={1+\kappa (t)z \over 1-\kappa (t)z}}$

где $\kappa$ представляет собой непрерывное отображение из $[0,\infty )$ к единичному кругу.

Чтобы определить $\kappa$, Обратите внимание, что $\varphi _{s,t}$ отображает единичный круг в единичный диск с удаленной жордановой дугой от внутренней точки до границы. Точка касания границы не зависит от $s$ и определяет непрерывную функцию $\lambda (t)$ от $[0,\infty )$ к единичному кругу. $\kappa (t)$ является комплексно-сопряженным (или обратным) числом $\lambda (t)$:

$\displaystyle {\kappa (t)=\lambda (t)^{-1}.}$

Эквивалентно, по теореме Каратеодори $f_{t}$ допускает непрерывное расширение на замкнутый единичный круг и $\lambda (t)$, иногда называемая движущей функцией , определяется выражением

$\displaystyle {f_{t}(\lambda (t))=c(t).}$

Не каждая непрерывная функция $\kappa$ происходит из отображения щелей, но Куфарев показал, что это верно, когда $\kappa$ имеет непрерывную производную.

Приложение к гипотезе Бибербаха

Левнер (1923) использовал свое дифференциальное уравнение для щелевых отображений, чтобы доказать гипотезу Бибербаха.

$\displaystyle {|a_{3}|\leq 3}$

для третьего коэффициента однолистной функции

$\displaystyle {f(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots }$

В этом случае, вращая при необходимости, можно считать, что $a_{3}$ является неотрицательным.

Затем

$\displaystyle {\varphi _{0,t}(z)=e^{-t}(z+a_{2}(t)z^{2}+a_{3}(t)z^{3}+\cdots )}$

с $a_{n}$ непрерывный. Они удовлетворяют

$\displaystyle {a_{n}(0)=0,\,\,a_{n}(\infty )=a_{n}.}$

Если

$\displaystyle {\alpha (t)=e^{-t}\kappa (t),}$

из дифференциального уравнения Лёвнера следует

$\displaystyle {{\dot {a}}_{2}=-2\alpha }$

и

$\displaystyle {{\dot {a}}_{3}=-2\alpha ^{2}-4\alpha \,a_{2}.}$

Так

$\displaystyle {a_{2}=-2\int _{0}^{\infty }\alpha (t)\,dt}$

откуда сразу следует неравенство Бибербаха

$\displaystyle {|a_{2}|\leq 2.}$

Сходным образом

$\displaystyle {a_{3}=-2\int _{0}^{\infty }\alpha (t)^{2}\,dt+4\left(\int _{0}^{\infty }\alpha (t)\,dt\right)^{2}}$

С $a_{3}$ неотрицательен и $|\kappa (t)|=1$,

$\displaystyle {|a_{3}|=2\int _{0}^{\infty }|\Re \alpha (t)^{2}|\,dt+4\left(\int _{0}^{\infty }\Re \alpha (t)\,dt\right)^{2}}\leq 2\int _{0}^{\infty }|\Re \alpha (t)^{2}|\,dt+4\left(\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt\right)\left(\int _{0}^{\infty }e^{t}(\Re \alpha (t))^{2}\,dt\right)=1+4\int _{0}^{\infty }(e^{-t}-e^{-2t})(\Re \kappa (t))^{2}\,dt\leq 3,$

используя неравенство Коши–Шварца .

Ссылки

• Дюрен, П.Л. (1983), Однолистные функции , Основы математических наук, вып. 259, Springer Verlag, ISBN  0-387-90795-5
• Куфарев П. П. (1943), "Об однопараметрических семействах аналитических функций", Матем. Сборник , 13 : 87–118.
• Лоулер, Г.Ф. (2005), Конформно-инвариантные процессы на плоскости , Математические обзоры и монографии, том. 114, Американское математическое общество, ISBN.  0-8218-3677-3
• Лёвнер, К. (1923), «Исследования простых конформных отображений единичного круга I», Math. , 89 : 103–121, doi : 10.1007/BF01448091 , hdl : 10338.dmlcz/125927
• Поммеренке, К. (1975), Однолистные функции, с главой Герда Йенсена, посвященной квадратичным дифференциалам , Studia Mathematica / Mathematical Textbooks, vol. 15, Ванденхук и Рупрехт