Теорема Каратеодори о ядре

В математике является теорема Каратеодори о ядре результатом комплексного анализа и геометрической теории функций, созданной греческим математиком Константином Каратеодори в 1912 году. Равномерная сходимость на компактных множествах последовательности голоморфных однолистных функций , определенных на единичном круге в комплексной плоскости. и фиксируя 0, можно сформулировать чисто геометрически в терминах предельного поведения образов функций. Теорема о ядре имеет широкое применение в теории однолистных функций и, в частности, обеспечивает геометрическую основу дифференциального уравнения Лёвнера .

Ядро последовательности открытых множеств

Пусть U _n — последовательность открытых множеств в C, содержащая 0. Пусть + ₁ ∩ ... _Ядро , содержащая _{V n — связная компонента внутренности Un ∩ Un 0.} последовательности определяется как объединение V n _{, если} он непустой; в противном случае оно определяется как $\{0\}$. Таким образом, ядро ​​представляет собой либо связное открытое множество, содержащее 0, либо одноточечное множество. $\{0\}$. Говорят, что последовательность сходится к ядру, если каждая подпоследовательность имеет одно и то же ядро.

Примеры

• Если Un _{— возрастающая последовательность связных открытых множеств ,} содержащая 0, то ядро ​​— это просто объединение.
• Если U _n — убывающая последовательность связных открытых множеств, содержащая 0, то, если 0 — внутренняя точка U ₁ ∩ U ₂ ∩ ..., последовательность сходится к компоненту внутренности, содержащей 0. В противном случае, если 0 не является внутренней точкой, последовательность сходится к $\{0\}$.

Теорема ядра

Пусть fn _{, нормированная так} ( z ) — последовательность голоморфных однолистных функций на единичном круге D , что fn ₍ 0) = 0 и f'n сходится ₍ 0) > 0. Тогда равномерно _fn на компактах в D к функция f тогда и только тогда, когда = _Un fn ( _{сходится к своему} D ) ​​не является C. ядру и это ядро Если ядро $\{0\}$, то f ядро ​​представляет собой связное открытое множество U , f однолистно на D и f ( D ) = U. = 0. В противном случае

Доказательство

Используя теорему Гурвица и теорему Монтеля , несложно проверить, что если fn _{, то} равномерно на компактах стремится к f подпоследовательность Un _каждая имеет ядро ​​U = f ( D ).

Обратно, если сходится _C к ядру, не равному , то по четверти теоремы Кебе Un _Un содержит диск радиуса f ' _n (0)/4 с центром 0. Из предположения, что U ≠ C, следует, что эти радиусы равномерно распределены . ограничено. По теореме об искажении Кебе

$|f_{n}(z)|\leq f_{n}^{\prime }(0){|z| \over (1-|z|)^{2}}.$

Следовательно, последовательность f _n равномерно ограничена на компактах. Если две подпоследовательности сходятся к голоморфным пределам f и g , то f (0) = g (0) и при f '(0) g' (0) ≥ 0. Из первой части и предположений следует, что f ( D ) знак равно г ( D ). Единственность отображении Римана приводит к тому , что f = g , поэтому исходная последовательность fn _{теоремы об} равномерно сходится на компактных множествах.

Ссылки

• Каратеодори, К. (1912), «Исследования конформных карт фиксированных и переменных областей» (PDF) , Ann. , 72 : 107–144, doi : 10.1007/bf01456892
• Дюрен, П.Л. (1983), Однолистные функции , Основы математических наук, вып. 259, Springer Verlag, ISBN  0-387-90795-5
• Поммеренке, К. (1975), Однолистные функции, с главой Герда Йенсена, посвященной квадратичным дифференциалам , Studia Mathematica / Mathematical Textbooks, vol. 15, Ванденхук и Рупрехт