Униловленная функция

В математике , в отрасли сложного анализа , голоморфная функция на открытой подмножеством сложной плоскости называется Univalent, если она инъективна . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Примеры

Функция $f\colon z\mapsto 2z+z^{2}$ у одноценности в открытом блоке, как $f(z)=f(w)$ подразумевает это $f(z)-f(w)=(z-w)(z+w+2)=0$ Полем Поскольку второй фактор не нулевой в диском открытых блоков, $z=w$ так $f$ является инъективным.

Основные свойства

Можно доказать, что если $G$ и $\Omega$ два открытых подключенных набора в сложной плоскости, и

f:G\to \Omega

это одновалентная функция, так что $f(G)=\Omega$ (то есть, $f$ является сервер ), затем производная $f$ никогда не будет нулю, $f$ является инвертируемым , и его обратно $f^{-1}$ также голоморфный. Более того, человек имеет правило цепи

(f^{-1})'(f(z))={\frac {1}{f'(z)}}

для всех $z$ в $G.$

Сравнение с реальными функциями

Для реальных аналитических функций , в отличие от сложных аналитических (то есть голоморфных) функций, эти утверждения не выполняются. Например, рассмотрим функцию

f:(-1,1)\to (-1,1)\,

дано по $f(x)=x^{3}$ Полем Эта функция явно инъективна, но ее производная 0 при $x=0$ и его обратное не является аналитическим или даже дифференцируемым в течение всего интервала $(-1,1)$ Полем Следовательно, если мы увеличим домен до открытого подмножества $G$ Из сложной плоскости он не должен быть инъективным; И это так, поскольку (например) $f(\varepsilon \omega )=f(\varepsilon )$ (где $\omega$ является примитивным кубическим корнем единства и $\varepsilon$ положительное реальное число меньше, чем радиус $G$ как окрестности $0$ ).

Смотрите также

Бихоломорфное картирование - биуктивная голоморфная функция с голоморфными обратными
Теорема де Брангеса - Заявление в сложном анализе; ранее гипотеза Бибербаха
Квартальная теорема Кебе - Заявление в сложном анализе
Теорема картирования Римана - математическая теорема
Критерий Неванлинны - Характеристика звездных универсальных голоморфных функций

Примечание

^ ( Conway 1995 , стр. 32, глава 14: Конформная эквивалентность для просто связанных областей, определение 1.12: «Функция на открытом наборе является однозначной, если она аналитическая и один-к одному».)
^ ( Нехари, 1975 )

Ссылки

Конвей, Джон Б. (1995). «Конформная эквивалентность для просто связанных областей» . Функции одной сложной переменной II . Выпускники текстов по математике. Тол. 159. doi : 10.1007/978-1-4612-0817-4 . ISBN 978-1-4612-6911-3 .
«Университетские функции» . Источники в развитии математики . 2011. С. 907–928. doi : 10.1017/cbo9780511844195.041 . ISBN 9780521114707 .
Вода, PL (1983). Универсальные функции . Нью -Йорк Спрингер, Нью -Йорк. п. XIV, 384. ISBN 978-1-4419-2816-0 .
Гонг, Шэн (1998). Выпуклые и звездные отображения в нескольких сложных переменных . doi : 10.1007/978-94-011-5206-8 . ISBN 978-94-010-6191-9 .
Джарницки, Марек; Pflug, Peter (2006). «Замечание о отдельной голоморфии» . Studia Mathematica . 174 (3): 309–317. arxiv : математика/0507305 . doi : 10.4064/sm174-3-5 . S2CID 15660985 .
С моим вирусом, Зив (1975). Конформное картирование . Нью -Йорк: Dover Publications. п. 146. ISBN 0-486-61137-X Полем OCLC 1504503 .

Эта статья включает материал из Univalent Analytic Function на Planetmath , которая лицензирована по лицензии Creative Commons Attribution/Allike .

[1] ( Conway 1995 , стр. 32, глава 14: Конформная эквивалентность для просто связанных областей, определение 1.12: «Функция на открытом наборе является однозначной, если она аналитическая и один-к одному».)

[2] ( Нехари, 1975 )

[ 1 ]

[ 2 ]