Многообразие Уайтхеда

Первые три тора конструкции многообразия Уайтхеда

В математике — многообразие Уайтхеда это открытое 3-многообразие , стягиваемое , но гомеоморфное не $\mathbb {R} ^{3}.$ Дж. Х. Уайтхед ( 1935 ) обнаружил этот загадочный объект, когда пытался доказать гипотезу Пуанкаре , исправляя ошибку в более ранней статье Уайтхеда (1934 , теорема 3), где он ошибочно утверждал, что такого многообразия не существует.

Сжимаемое многообразие — это многообразие, которое можно непрерывно сжимать до точки внутри самого многообразия. Например, открытый шар представляет собой сжимаемое многообразие. Все многообразия, гомеоморфные шару, также стягиваемы. Можно задаться вопросом, все ли стягиваемые многообразия гомеоморфны шару. Для измерений 1 и 2 ответ классический: «да». В размерности 2 это следует, например, из теоремы Римана об отображении . Размерность 3 представляет первый контрпример : многообразие Уайтхеда.

Строительство

Возьмите копию $S^{3},$ трехмерная сфера . Теперь найдем компактный полноторий без узлов. $T_{1}$ внутри сферы. (Полноторие — это обычный трехмерный пончик , то есть заполненный тор , который топологически представляет собой круг, . ) умноженный на диск Замкнутое дополнение полнотора внутри $S^{3}$ является еще одним полноторием.

Утолщенное звено Уайтхеда. В конструкции многообразия Уайтхеда синий (раскрученный) тор представляет собой трубчатую окрестность меридиональной кривой $T_{1}$, а оранжевый тор $T_{2}.$ Все должно содержаться внутри $T_{1}.$

Теперь возьмем второй полноторий $T_{2}$ внутри $T_{1}$ так что $T_{2}$ и трубчатая окрестность меридиональной кривой $T_{1}$ представляет собой утолщенное звено Уайтхеда .

Обратите внимание, что $T_{2}$ является нуль-гомотопным в дополнении к меридиану $T_{1}.$ Это можно увидеть, рассмотрев $S^{3}$ как $\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}$ и кривая меридиана как ось z вместе с $\infty .$ Тор $T_{2}$ имеет нулевое число витков вокруг оси z . Отсюда следует необходимая нуль-гомотопия. Поскольку связь Уайтхеда симметрична, то есть представляет собой гомеоморфизм компонентов трехсферных переключателей, верно также, что меридиан $T_{1}$ также является нуль-гомотопным в дополнении $T_{2}.$

Теперь вставьте $T_{3}$ внутри $T_{2}$ точно так же, как $T_{2}$ лежит внутри $T_{1},$ и так далее; до бесконечности. Определим W , континуум Уайтхеда , как $W=T_{\infty },$ или, точнее, пересечение всех $T_{k}$ для $k=1,2,3,\dots .$

Многообразие Уайтхеда определяется как $X=S^{3}\setminus W,$ которое представляет собой некомпактное многообразие без края. следует Из нашего предыдущего наблюдения, теоремы Гуревича и теоремы Уайтхеда о гомотопической эквивалентности , что X стягиваемо. Фактически, более тщательный анализ результатов Мортона Брауна показывает, что $X\times \mathbb {R} \cong \mathbb {R} ^{4}.$ Однако X не гомеоморфен $\mathbb {R} ^{3}.$ Причина в том, что оно не просто связано на бесконечности .

Одноточечная компактификация X — это пространство $S^{3}/W$ (с W сжатой до точки буквой ). Это не многообразие. Однако, $\left(\mathbb {R} ^{3}/W\right)\times \mathbb {R}$ гомеоморфен $\mathbb {R} ^{4}.$

Давид Габай показал, что X — это объединение двух копий $\mathbb {R} ^{3}$ пересечение которого также гомеоморфно $\mathbb {R} ^{3}.$

Похожие пространства

Дополнительные примеры открытых сжимаемых трехмерных многообразий можно построить, действуя аналогичным образом и выбирая различные вложения $T_{i+1}$ в $T_{i}$ в итерационном процессе. Каждое вложение должно представлять собой развязанный полноторий в 3-сфере. Основные свойства заключаются в том, что меридиан $T_{i}$ должен быть нуль-гомотопным по дополнению $T_{i+1},$ и, кроме того, долгота $T_{i+1}$ не должен быть нуль-гомотопным в $T_{i}\setminus T_{i+1}.$

Другой вариант — на каждом этапе выбирать несколько субтори вместо одного. Конусы над некоторыми из этих континуумов выглядят как дополнения к ручкам Кассона в четверке.

Пространство «собачьей кости» — это не многообразие, а его произведение с $\mathbb {R} ^{1}$ гомеоморфен $\mathbb {R} ^{4}.$

См. также

• Список топологий
• Прирученное многообразие

Дальнейшее чтение

• Кирби, Робион (1989). Топология 4-многообразий . Конспект лекций по математике, вып. 1374 г., Шпрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-51148-1 .
• Рольфсен, Дейл (2003), «Раздел 3.I.8.», Узлы и связи , AMS Chelsea Publishing, стр. 82, ISBN  978-0821834367
• Уайтхед, JHC (1934), «Некоторые теоремы о трехмерных многообразиях (I)», Quarterly Journal of Mathematics , 5 (1): 308–320, Бибкод : 1934QJMat...5..308W , doi : 10.1093/qmath /os-5.1.308
• Уайтхед, JHC (1935), «Некоторое открытое многообразие, группа которого равна единице», Quarterly Journal of Mathematics , 6 (1): 268–279, Бибкод : 1935QJMat...6..268W , doi : 10.1093/qmath/os -6.1.268