Интегральная формула Коши

Не путать с интегральной теоремой Коши или формулой Коши для повторного интегрирования .

В математике интегральная формула Коши , названная в честь Огюстена-Луи Коши , является центральным утверждением комплексного анализа . Он выражает тот факт, что голоморфная функция , определенная на диске, полностью определяется своими значениями на границе диска, и дает интегральные формулы для всех производных голоморфной функции. Формула Коши показывает, что в комплексном анализе «дифференцирование эквивалентно интегрированию»: комплексное дифференцирование, как и интегрирование, хорошо ведет себя в единых пределах – результат, который не справедлив для реального анализа .

Теорема

Пусть U — открытое подмножество комплексной плоскости C и предположим, что замкнутый диск D определяется как

$$D={\bigl \{}z:|z-z_{0}|\leq r{\bigr \}}$$

содержится в U. полностью Пусть f : U → C — голоморфная функция , и пусть круг , ориентированный против часовой стрелки , образующий границу D. γ — Тогда a внутри ​ D для любого

$$f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz.\,$$

Доказательство этого утверждения использует интегральную теорему Коши и, как и эта теорема, требует только того, чтобы f была комплексно дифференцируемой . С $1/(z-a)$ можно разложить в степенной ряд по переменной $a$

$${\frac {1}{z-a}}={\frac {1+{\frac {a}{z}}+\left({\frac {a}{z}}\right)^{2}+\cdots }{z}}$$

отсюда следует, что голоморфные функции аналитичны , т. е. их можно разложить в сходящиеся степенные ряды.В частности, f на самом деле бесконечно дифференцируема, причем

$$f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{\left(z-a\right)^{n+1}}}\,dz.$$

Эту формулу иногда называют формулой дифференцирования Коши .

Сформулированную выше теорему можно обобщить. Окружность γ можно заменить любой замкнутой спрямляемой кривой в U , имеющей витка номер один вокруг a . Более того, что касается интегральной теоремы Коши, то достаточно потребовать, чтобы f была голоморфной в открытой области, ограниченной путем, и непрерывной на ее замыкании .

Обратите внимание, что не каждую непрерывную функцию на границе можно использовать для создания функции внутри границы, которая соответствует данной граничной функции. Например, если мы положим функцию f ( z ) = 1 / z , определенный для | г | = 1 в интегральной формуле Коши мы получаем ноль для всех точек внутри круга. В самом деле, достаточно указать на границе голоморфной функции только действительную часть, чтобы определить функцию с точностью до мнимой константы — на границе имеется только одна мнимая часть, соответствующая данной действительной части, с точностью до добавления константы . Мы можем использовать комбинацию преобразования Мёбиуса и формулы обращения Стилтьеса , чтобы построить голоморфную функцию из действительной части на границе. Например, функция f ( z ) = i − iz имеет действительную часть Re f ( z ) = Im z . На единичном круге это можно записать я / z - из / 2 . Используя преобразование Мёбиуса и формулу Стилтьеса, построим функцию внутри круга. Член i / z не вносит вклада, и мы находим функцию − iz . Это имеет правильную действительную часть на границе, а также дает нам соответствующую мнимую часть, но с отклонением на константу, а именно i .

Эскиз доказательства

Используя интегральную теорему Коши , можно показать, что интеграл по C (или замкнутой спрямляемой кривой) равен тому же интегралу, взятому по сколь угодно малому кругу вокруг a . Поскольку f ( z ) непрерывна, мы можем выбрать достаточно малый круг, на котором f ( z ) будет сколь угодно близко к f ( a ) . С другой стороны, интеграл

$$\oint _{C}{\frac {1}{z-a}}\,dz=2\pi i,$$

над любой окружностью C с центром в a . Это можно вычислить непосредственно с помощью параметризации ( интегрирования путем замены ) z ( t ) = a + εe ^это где 0 ≤ t ≤ 2π и ε — радиус круга.

Полагая ε → 0, получим искомую оценку

$${\begin{aligned}\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz-f(a)\right|&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}\,dz\right|\\[1ex]&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a)}{\varepsilon e^{it}}}\cdot \varepsilon e^{it}i\right)\,dt\right|\\[1ex]&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a)\right|}{\varepsilon }}\,\varepsilon \,dt\\[1ex]&\leq \max _{|z-a|=\varepsilon }\left|f(z)-f(a)\right|~~{\xrightarrow[{\varepsilon \to 0}]{}}~~0.\end{aligned}}$$

Пример

Поверхность вещественной части функции g ( z ) = С ² / С ² + 2 z + 2 и ее особенности с контурами, описанными в тексте.

Позволять

$$g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}},$$

и пусть C — контур, описываемый | г | = 2 (окружность радиуса 2).

Чтобы найти интеграл от g ( z ) вокруг контура C , нам нужно знать особенности g ( z ) . Заметьте, что мы можем переписать g следующим образом:

$$g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}$$

где z ₁ знак равно - 1 + я и z ₂ знак равно - 1 - я .

Таким образом, g имеет полюса в точках z ₁ и z ₂ . Модули . этих точек меньше 2 и, следовательно, лежат внутри контура Этот интеграл можно разделить на два меньших интеграла по теореме Коши – Гурса ; то есть мы можем выразить интеграл вокруг контура как сумму интеграла вокруг z ₁ и z ₂ , где контур представляет собой небольшой круг вокруг каждого полюса. Назовем эти контуры C ₁ вокруг z ₁ и C ₂ вокруг z ₂ .

Теперь каждый из этих меньших интегралов можно вычислить по интегральной формуле Коши, но сначала их необходимо переписать, чтобы применить теорему. Для интеграла вокруг C ₁ определите f ₁ как f ₁ ( z ) знак равно ( z - z ₁ ) g ( z ) . Это аналитично (так как контур не содержит другой особенности). Мы можем упростить f ₁ так:

$$f_{1}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}$$

и сейчас

$$g(z)={\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}.$$

Поскольку интегральная формула Коши гласит:

$$\oint _{C}{\frac {f_{1}(z)}{z-a}}\,dz=2\pi i\cdot f_{1}(a),$$

мы можем оценить интеграл следующим образом:

$$\oint _{C_{1}}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}{\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}.$$

Аналогично делаем и для другого контура:

$$f_{2}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}},$$

мы оцениваем

$$\oint _{C_{2}}g(z)\,dz=\oint _{C_{2}}{\frac {f_{2}(z)}{z-z_{2}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}.$$

Тогда интеграл по исходному контуру C представляет собой сумму этих двух интегралов:

$${\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&{}=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz\\[.5em]&{}=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[.5em]&{}=2\pi i(-2)\\[.3em]&{}=-4\pi i.\end{aligned}}$$

Элементарный трюк с использованием разложения на частичные дроби :

$$\oint _{C}g(z)\,dz=\oint _{C}\left(1-{\frac {1}{z-z_{1}}}-{\frac {1}{z-z_{2}}}\right)\,dz=0-2\pi i-2\pi i=-4\pi i$$

Последствия

Интегральная формула имеет широкое применение. Во-первых, это означает, что функция, голоморфная в открытом множестве, на самом деле там бесконечно дифференцируема . Кроме того, это аналитическая функция , то есть ее можно представить в виде степенного ряда . В доказательстве этого используется теорема о доминируемой сходимости и геометрическая прогрессия, примененная к

$$f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-\zeta }}\,dz.$$

Формула также используется для доказательства теоремы о вычетах , которая является результатом для мероморфных функций , и связанного с ней результата — принципа аргумента . известно Из теоремы Мореры , что равномерный предел голоморфных функций голоморфен. Это также можно вывести из интегральной формулы Коши: действительно, формула верна и в пределе, и подынтегральная функция, а следовательно, и интеграл, может быть разложена в степенной ряд. Кроме того, формулы Коши для производных высших порядков показывают, что все эти производные также сходятся равномерно.

Аналогом интегральной формулы Коши в реальном анализе является интегральная формула Пуассона для гармонических функций ; многие результаты для голоморфных функций переносятся и на этот случай. Однако такие результаты не справедливы для более общих классов дифференцируемых или вещественных аналитических функций. Например, существование первой производной действительной функции не обязательно должно предполагать существование производных более высокого порядка или, в частности, аналитичность функции. Аналогично, равномерный предел последовательности (действительных) дифференцируемых функций может не быть дифференцируемым или может быть дифференцируемым, но с производной, которая не является пределом производных членов последовательности.

Другое следствие состоит в том, что если f ( z ) = Σ a _n z ^н голоморфен в | г | < R и 0 < r < R , то коэффициенты a _n удовлетворяют неравенству Коши

$$|a_{n}|\leq r^{-n}\sup _{|z|=r}|f(z)|.$$

Из неравенства Коши легко вывести, что каждая ограниченная целая функция должна быть постоянной (что является теоремой Лиувилля ).

Формулу также можно использовать для вывода теоремы Гаусса о среднем значении , которая гласит:

$$f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z+re^{i\theta })\,d\theta .$$

Другими словами, среднее значение f по кругу с центром в z и радиусом r равно f ( z ) . Это можно вычислить непосредственно через параметризацию круга.

Обобщения

Плавные функции

Разновидностью интегральной формулы Коши является формула Коши – Помпейю : и справедливо и для гладких функций , поскольку основано на теореме Стокса . Пусть D — диск в C , и предположим, что f — комплекснозначный C ¹ функция замыкании D . на Затем

$$f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(z)\,dz}{z-\zeta }}-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z){\frac {dx\wedge dy}{z-\zeta }}.$$

Эту формулу представления можно использовать для решения неоднородных уравнений Коши – Римана в D . Действительно, если φ — функция из D , то частное решение f уравнения является голоморфной функцией вне носителя µ . Более того, если в открытом множестве D ,

$$d\mu ={\frac {1}{2\pi i}}\varphi \,dz\wedge d{\bar {z}}$$

для некоторого φ ∈ C ^к ( D ) (где k ≥ 1 ), то f ( ζ , ζ ) также находится в C ^к ( D ) и удовлетворяет уравнению

$${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\varphi (z,{\bar {z}}).$$

Вкратце, первый вывод состоит в том, что свертка µ ∗ k ( z ) меры с компактным носителем с ядром Коши

$$k(z)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{z}}$$

является голоморфной функцией без носителя µ . Здесь pv обозначает главное значение . Второй вывод утверждает, что ядро ​​Коши является фундаментальным решением уравнений Коши–Римана. Заметим, что для гладких комплекснозначных функций f с компактным носителем на C обобщенная интегральная формула Коши упрощается до

$$f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\iint {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }},$$

и является повторением того факта, что, рассматриваемый как распределение , (π z ) ⁻¹ является фундаментальным решением оператора Коши–Римана ∂ / ∂ z̄ .

Обобщенную интегральную формулу Коши можно вывести для любой ограниченной открытой области X с C ¹ граница ∂ X из этого результата и формулы для производной распределения характеристической функции χ _X числа X :

$${\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz,$$

где распределение в правой части обозначает интегрирование вдоль ∂X контурное .

Доказательство

Для $\varphi \in {\mathcal {D}}(X)$ рассчитать:

${\begin{aligned}\left\langle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right),\varphi \right\rangle &=-\int _{X}{\frac {\partial \varphi }{\partial {\bar {z}}}}\mathrm {~d} (x,y)\\&=-{\frac {1}{2}}\int _{X}\left(\partial _{x}\varphi +\mathrm {i} \partial _{y}\varphi \right)\mathrm {d} (x,y).\end{aligned}}$

затем пересечь $\partial X$ в направлении против часовой стрелки. Исправить точку $p\in \partial X$ и пусть $s$ обозначим длину дуги на $\partial X$ измерено от $p$ против часовой стрелки. Тогда, если $\ell$ длина $\partial X,[0,\ell ]\ni s\mapsto (x(s),y(s))$ представляет собой параметризацию $\partial X$. Производная $\tau =\left(x'(s),y'(s)\right)$ является единичной касательной к $\partial X$ и $\nu :=\left(-y'(s),x'(s)\right)$ Внешний вид устройства нормальный? $\partial X$. Мы выстроились в очередь за применением теоремы о расходимости : положим $V=(\varphi ,\mathrm {i} \varphi )\in {\mathcal {D}}(X)^{2}$ так что $\operatorname {div} V=\partial _{x}\varphi +\mathrm {i} \partial _{y}\varphi$ и мы получаем

${\begin{aligned}-{\frac {1}{2}}\int _{X}\left(\partial _{x}\varphi +\mathrm {i} \partial _{y}\varphi \right)\mathrm {d} (x,y)&=-{\frac {1}{2}}\int _{\partial X}V\cdot \nu \mathrm {d} S\\&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ell }\left(\varphi \nu _{1}+\mathrm {i} \varphi \nu _{2}\right)\mathrm {d} s\\&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ell }\varphi (x(s),y(s))\left(y'(s)-\mathrm {i} x'(s)\right)\mathrm {d} s\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ell }\mathrm {i} \varphi (x(s),y(s))\left(x'(s)+\mathrm {i} y'(s)\right)\mathrm {d} s\\&={\frac {\mathrm {i} }{2}}\int _{\partial X}\varphi \mathrm {d} z\end{aligned}}$

Таким образом, мы доказали ${\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz$.

Теперь мы можем вывести обобщенную интегральную формулу Коши:

Доказательство

С $u={\frac {\chi _{X}}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\in \mathrm {L} _{\text{loc}}^{1}(X)$ и поскольку $z_{0}\in X$ этот дистрибутив находится локально в $X$ вида «времена распределения C ^∞ функция», поэтому мы можем применить правило Лейбница для вычисления ее производных:

${\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left({\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\right)\chi _{X}+{\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right)$

Используя это (π z ) ⁻¹ является фундаментальным решением оператора Коши–Римана ∂ / ∂z̄ получаем , мы ${\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left({\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\right)=\delta _{z_{0}}$:

${\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}=\delta _{z_{0}}+{\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right)$

Применение ${\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}$ к $\phi \in {\mathcal {D}}(X)$:

${\begin{aligned}\left\langle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left({\frac {\chi _{X}}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\right),\phi \right\rangle &=\phi \left(z_{0}\right)+\left\langle {\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right),\phi \right\rangle \\&=\phi \left(z_{0}\right)+\left\langle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right),{\frac {\phi }{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\right\rangle \\&=\phi \left(z_{0}\right)+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\int _{\partial X}{\frac {\phi (z)}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\mathrm {d} z\end{aligned}}$

где ${\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz$ используется в последней строке.

Переставляя, получаем

$\phi (z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial X}{\frac {\phi (z)\,dz}{z-z_{0}}}-{\frac {1}{\pi }}\iint _{X}{\frac {\partial \phi }{\partial {\bar {z}}}}(z){\frac {dx\wedge dy}{z-z_{0}}}.$

по желанию.

Несколько переменных

В нескольких комплексных переменных интегральная формула Коши может быть обобщена на полидиски . Пусть D — полидиск, заданный как произведение n D открытых дисков n ₁ , ..., D _: декартово

$$D=\prod _{i=1}^{n}D_{i}.$$

Предположим, что f — голоморфная функция в D, непрерывная на замыкании D . Затем

$$f(\zeta )={\frac {1}{\left(2\pi i\right)^{n}}}\int \cdots \iint _{\partial D_{1}\times \cdots \times \partial D_{n}}{\frac {f(z_{1},\ldots ,z_{n})}{(z_{1}-\zeta _{1})\cdots (z_{n}-\zeta _{n})}}\,dz_{1}\cdots dz_{n}$$

где ζ знак равно ( ζ ₁ ,..., ζ _п ) ∈ D .

В реальных алгебрах

Интегральная формула Коши обобщается на вещественные векторные пространства двух или более измерений. Понимание этого свойства приходит из геометрической алгебры объекты, выходящие за рамки скаляров и векторов (такие как плоские бивекторы и объемные тривекторы , где рассматриваются ), а также из правильного обобщения теоремы Стокса .

Геометрическое исчисление определяет производный оператор ∇ = ê _i ∂ _i относительно своего геометрического произведения, то есть для k -векторного поля ψ ( r ) производная ∇ ψ обычно содержит члены степени k + 1 и k − 1 . Например, векторное поле ( k = 1 ) обычно имеет в своей производной скалярную часть, дивергенцию ( k = 0 ), и бивекторную часть, ротор ( k = 2 ). Этот конкретный оператор производной имеет функцию Грина :

$$G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)={\frac {1}{S_{n}}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{n}}}$$

где S _n — площадь поверхности единичного n — шара в пространстве (т. е. S ₂ = 2π , длина окружности радиуса 1, и S ₃ = 4π , площадь поверхности сферы радиуса 1) . По определению функции Грина

$$\nabla G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)=\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right).$$

Именно это полезное свойство можно использовать в сочетании с обобщенной теоремой Стокса:

$$\oint _{\partial V}d\mathbf {S} \;f(\mathbf {r} )=\int _{V}d\mathbf {V} \;\nabla f(\mathbf {r} )$$

где для n -мерного векторного пространства d S представляет собой ( n − 1) -вектор, а d V представляет собой n -вектор. Функция f ( r ) в принципе может состоять из любой комбинации мультивекторов. Доказательство интегральной теоремы Коши для пространств более высокой размерности основано на использовании обобщенной теоремы Стокса о величине G ( r , r ′) f ( r ′) и использовании правила произведения:

$$\oint _{\partial V'}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} '\;f\left(\mathbf {r} '\right)=\int _{V}\left(\left[\nabla 'G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\right]f\left(\mathbf {r} '\right)+G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\nabla 'f\left(\mathbf {r} '\right)\right)\;d\mathbf {V}$$

Когда ∇ f = 0 , f ( r ) называется моногенной функцией , это обобщение голоморфных функций на многомерные пространства - действительно, можно показать, что условие Коши-Римана - это просто двумерное выражение моногенного условия . Когда это условие выполняется, второй член правого интеграла исчезает, остается только

$$\oint _{\partial V'}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} '\;f\left(\mathbf {r} '\right)=\int _{V}\left[\nabla 'G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\right]f\left(\mathbf {r} '\right)=-\int _{V}\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)f\left(\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {V} =-i_{n}f(\mathbf {r} )$$

где i _n вектор этой алгебры — единичный n- , псевдоскаляр . Результат

$$f(\mathbf {r} )=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} \;f\left(\mathbf {r} '\right)=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{S_{n}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{n}}}\;d\mathbf {S} \;f\left(\mathbf {r} '\right)$$

Таким образом, как и в двумерном (комплексном анализе) случае, значение аналитической (моногенной) функции в точке можно найти с помощью интеграла по поверхности, окружающей точку, причем это справедливо не только для скалярных функций, но и векторных а также общие многовекторные функции.

См. также

• Уравнения Коши – Римана.
• Методы контурного интегрирования
• Теорема Нахбина
• Теорема Мореры
• Теорема Миттаг-Леффлера
• Функция Грина обобщает эту идею на нелинейную установку.
• Интегральная формула Шварца
• Формула Парсеваля – Гутцмера
• Формула Бохнера – Мартинелли

Ссылки

• Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ (3-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN  978-0-07-000657-7 .
• Помпейу, Д. (1905). «О непрерывности функций комплексных переменных» (PDF) . Анналы факультета наук Тулузы . Серия 2. 7 (3): 265–315.
• Титчмарш, ЕС (1939). Теория функций (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета .
• Хёрмандер, Ларс (1966). Введение в комплексный анализ с несколькими переменными . Ван Ностранд.
• Хёрмандер, Ларс (1983). Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I . Спрингер. ISBN  3-540-12104-8 .
• Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2003). Геометрическая алгебра для физиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-71595-9 .

Внешние ссылки

• «Интеграл Коши» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Интегральная формула Коши» . Математический мир .