Формула Бохнера – Мартинелли

В математике формула Бохнера-Мартинелли представляет собой обобщение интегральной формулы Коши на функции нескольких комплексных переменных , введенную Энцо Мартинелли ( 1938 ) и Саломоном Бохнером ( 1943 ).

История

Формула (53) настоящей статьи и основанное на ней доказательство теоремы 5 только что были опубликованы Энцо Мартинелли (...) . Настоящему автору может быть разрешено заявить, что эти результаты были представлены им в аспирантуре Принстона зимой 1940/1941 года и впоследствии были включены в докторскую диссертацию в Принстоне (июнь 1941 года) Дональда К. Мэя, озаглавленную: Интегральный формула для аналитических функций от k переменных с некоторыми приложениями.

- Саломон Бохнер ( Bochner 1943 , стр. 652, сноска 1).

Однако это утверждение автора в лок. цит. сноска 1, то, что он мог быть знаком с общей формой формулы до Мартинелли, было совершенно неоправданно и настоящим отменяется.

— Саломон Бохнер ( Bochner 1947 , стр. 15, сноска *).

Ядро Бохнера – Мартинелли

Для ζ , z в $\mathbb {C} ^{n}$ ядро Бохнера–Мартинелли ω( ζ , z ) является дифференциальной формой в ζ бистепени ( n , n −1), определяемой формулой

$\omega (\zeta ,z)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}{\frac {1}{|z-\zeta |^{2n}}}\sum _{1\leq j\leq n}({\overline {\zeta }}_{j}-{\overline {z}}_{j})\,d{\overline {\zeta }}_{1}\land d\zeta _{1}\land \cdots \land d\zeta _{j}\land \cdots \land d{\overline {\zeta }}_{n}\land d\zeta _{n}$

(где член d ζ _j опущен).

Предположим, что f — непрерывно дифференцируемая функция на замыкании области D в $\mathbb {C}$^н с кусочно гладкой границей ∂ D . Тогда формула Бохнера–Мартинелли утверждает, что если z находится в области D , то

$\displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z)-\int _{D}{\overline {\partial }}f(\zeta )\land \omega (\zeta ,z).$

В частности, если f голоморфен, второй член обращается в нуль, поэтому

$\displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z).$

См. также

• Формула Бергмана – Вейля

Ссылки

• Айзенберг, Луизиана ; Южаков, А.П. (1983) [1979], Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе , Переводы математических монографий, вып. 58, Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество , стр. x+283, ISBN.  0-8218-4511-Х , МР   0735793 , Збл   0537.32002 .
• Бохнер, Саломон (1943), «Аналитическое и мероморфное продолжение с помощью формулы Грина», Annals of Mathematics , Second Series, 44 (4): 652–673, doi : 10.2307/1969103 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1969103 , MR   0009206 , Збл   0060.24206 .
• Бохнер, Саломон (1947), «О компактных комплексных многообразиях», Журнал Индийского математического общества , новая серия, 11 : 1–21, MR   0023919 , Zbl   0038.23701 .
• Чирка, Э.М. (2001) [1994], «Формула представления Бохнера – Мартинелли» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Кранц, Стивен Г. (2001) [1992], Теория функций нескольких комплексных переменных (переиздание 2-го изд.), Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing , стр. xvi+564, doi : 10.1090/chel/340 , ISBN  978-0-8218-2724-6 , МР   1846625 , Збл   1087.32001 .
• Кытманов, Александр М. (1995) [1992], Интеграл Бохнера-Мартинелли и его приложения , Birkhäuser Verlag , стр. xii+305, doi : 10.1007/978-3-0348-9094-6 , ISBN  978-3-7643-5240-0 , МР   1409816 , Збл   0834.32001 .
• Kytmanov, Alexander M. ; Myslivets, Simona G. (2010), Интегральные представления и их приложения в многомерном комплексном анализе [ Integral representations and their application in multidimensional complex analysis ], Красноярск : СФУ , p. 389, ISBN  978-5-7638-1990-8 , заархивировано из оригинала 23 марта 2014 г.
• Кытманов Александр Михайлович ; Мысливец, Симона Г. (2015), Многомерные интегральные представления. Проблемы аналитического продолжения , Чам – Гейдельберг – Нью-Йорк – Дордрехт – Лондон: Springer Verlag , стр. xiii+225, doi : 10.1007/978-3-319-21659-1 , ISBN  978-3-319-21658-4 , МР   3381727 , Збл   1341.32001 , ISBN   978-3-319-21659-1 (электронная книга).
• Мартинелли, Энцо (1938), «Некоторые интегральные теоремы для аналитических функций нескольких комплексных переменных», Труды Королевской академии Италии. Мемуары класса физических, математических и естественных наук (на итальянском языке), 9 (7): 269–283, JFM   64.0322.04 , Zbl   0022.24002 . Первая статья, в которой формула Бохнера-Мартинелли . представлена ​​и доказана
• Мартинелли, Энцо (1942–1943), «Sopra una dimostrazione di R. Fueter per un teorema di Hartogs» [О доказательстве Р. Фютера теоремы Хартогса], Commentarii Mathematici Helvetici (на итальянском языке), 15 (1) : 340–349, doi : 10.1007/bf02565649 , MR   0010729 , S2CID   119960691 , Zbl   0028.15201 , заархивировано из оригинала 02 октября 2011 г. , получено 04 июля 2020 г. Доступно на портале SEALS. Архивировано 10 ноября 2012 г. на Wayback Machine . В этой статье Мартинелли дает доказательство теоремы Хартогса о продолжении, используя формулу Бохнера-Мартинелли .
• Мартинелли, Энцо (1984), теорию функций комплексных переменных с особым вниманием к интегральным представлениям , Элементарное введение в вклад Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Их приложения (на итальянском языке), vol. 67, Рим: Национальная академия Линчеи , стр. 236+II, заархивировано из оригинала 27 сентября 2011 г. , получено 3 января 2011 г. Заметки составляют курс, опубликованный Национальной академией Линчеи , который Мартинелли проводил во время своего пребывания в Академии в качестве « профессора Линсео ».
• Мартинелли, Энцо (1984b), «Некоторые размышления об интегральном представлении максимальной размерности для функций нескольких комплексных переменных» , Труды Национальной академии Линчеи. Отчеты. Класс физических, математических и естественных наук , серия VIII (на итальянском языке), 76 (4): 235–242, MR   0863486 , Zbl   0599.32002 . В этой статье Мартинелли дает другую форму формуле Мартинелли-Бохнера.