Аналитичность голоморфных функций

В анализе комплексная ​ функция комплексном $f$ комплексной переменной $z$:

• называется голоморфным в точке $a$ если он дифференцируем в каждой точке некоторого открытого диска с центром в $a$, и
• называется аналитическим при $a$ если на каком-то открытом диске с центром в $a$ его можно разложить в сходящийся степенной ряд $$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$$ (это означает, что радиус сходимости положителен).

Одна из важнейших теорем комплексного анализа состоит в том, что голоморфные функции аналитичны, и наоборот . Среди следствий этой теоремы можно выделить

• теорема тождества о том, что две голоморфные функции, согласованные в каждой точке бесконечного множества $S$ с точкой накопления внутри пересечения их областей также согласуются всюду в каждом связном открытом подмножестве их областей, содержащем множество $S$, и
• тот факт, что, поскольку степенные ряды бесконечно дифференцируемы , то же самое относится и к голоморфным функциям (в отличие от случая вещественных дифференцируемых функций), и
• тот факт, что радиус схождения - это всегда расстояние от центра $a$ до ближайшей неустранимой особенности ; если нет особенностей (т. е. если $f$ — целая функция ), то радиус сходимости бесконечен. Строго говоря, это не следствие теоремы, а скорее побочный продукт доказательства.
• ни одна функция рельефа на комплексной плоскости не может быть целой. В частности, на любом связном открытом подмножестве комплексной плоскости не может быть голоморфной на этом множестве функции рельефа. Это имеет важные последствия для изучения комплексных многообразий , поскольку исключает использование разбиений единицы . Напротив, разделение единства — это инструмент, который можно использовать на любом реальном многообразии.

Доказательство

Аргумент, впервые приведенный Коши, основан на интегральной формуле Коши и разложении выражения в степенной ряд

${\frac {1}{w-z}}.$

Позволять $D$ быть открытым диском с центром в $a$ и предположим $f$ дифференцируема всюду в пределах открытой окрестности, содержащей замыкание $D$. Позволять $C$ — положительно ориентированный (т. е. против часовой стрелки) круг, который является границей $D$ и пусть $z$ быть точкой в $D$. Исходя из интегральной формулы Коши, имеем

${\begin{aligned}f(z)&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over w-z}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)-(z-a)}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {1 \over 1-{z-a \over w-a}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {\sum _{n=0}^{\infty }\left({z-a \over w-a}\right)^{n}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2\pi i}\int _{C}{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\,\mathrm {d} w.\end{aligned}}$

Замена интеграла и бесконечной суммы оправдана тем, что $f(w)/(w-a)$ ограничен $C$ на некоторое положительное число $M$, в то время как для всех $w$ в $C$

$\left|{\frac {z-a}{w-a}}\right|\leq r<1$

для позитива $r$ также. Поэтому мы имеем

$\left|{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\right|\leq Mr^{n},$

на $C$, и, как показывает М-критерий Вейерштрасса, ряд сходится равномерно по $C$, сумму и интеграл можно поменять местами.

В качестве фактора $(z-a)^{n}$ не зависит от переменной интегрирования $w$, его можно вынести за скобки, чтобы получить

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(z-a)^{n}{1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w,$

который имеет искомый вид степенного ряда в $z$:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$

с коэффициентами

$c_{n}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w.$

Примечания

• Поскольку степенной ряд можно дифференцировать почленно, применив приведенный выше аргумент в обратном направлении и выражение степенного ряда для $${\frac {1}{(w-z)^{n+1}}}$$ дает $$f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,dw.$$ Это интегральная формула Коши для производных. Следовательно, полученный выше степенной ряд является Тейлора рядом $f$.
• Аргумент работает, если $z$ это любая точка, которая ближе к центру $a$ чем любая особенность $f$. Поэтому радиус сходимости ряда Тейлора не может быть меньше расстояния от $a$ до ближайшей особенности (и не может быть больше, поскольку степенные ряды не имеют особенностей внутри кругов сходимости).
• Частный случай тождественной теоремы следует из предыдущего замечания. Если две голоморфные функции согласуются в открытой окрестности (возможно, весьма малой) $U$ из $a$, то на открытом диске они совпадают $B_{d}(a)$, где $d$ это расстояние от $a$ до ближайшей особенности.

Внешние ссылки

• «Существование степенного ряда» . ПланетаМатематика .