Раздел единства

В математике — разбиение единицы топологического пространства ⁠ $X$⁠ — это множество ⁠ $R$⁠ непрерывных функций из ⁠ $X$⁠ к единичному интервалу [0,1] такой, что для каждой точки $x\in X$:

• есть окрестности ​ ⁠ $x$⁠ где все кроме конечного числа функции ⁠, $R$⁠ равны 0, и
• сумма всех значений функции в ⁠ $x$⁠ равен 1, т. е. ${\textstyle \sum _{\rho \in R}\rho (x)=1.}$

Разбиение единства круга с четырьмя функциями. Круг разворачивается до сегмента линии (нижняя сплошная линия) для целей построения графиков. Пунктирная линия сверху — это сумма функций в разбиении.

Перегородки единства полезны тем, что часто позволяют распространить локальные конструкции на все пространство. Они также важны для интерполяции данных, обработки сигналов и теории сплайн-функций .

Существование

Существование разделов единства принимает две различные формы:

1. Учитывая любую открытую крышку $\{U_{i}\}_{i\in I}$ пространства существует раздел $\{\rho _{i}\}_{i\in I}$ индексированы по одному и тому же набору ⁠ $I$⁠ такой, что супп $\rho _{i}\subseteq U_{i}.$ Такая перегородка называется подчиненной открытой крышке. $\{U_{i}\}_{i}.$
2. Если пространство локально компактно при любом открытом покрытии $\{U_{i}\}_{i\in I}$ пространства существует раздел $\{\rho _{j}\}_{j\in J}$ индексируется по возможно отличному набору индексов ⁠ $J$⁠ такой, что каждый ⁠ $\rho _{j}$⁠ имеет компактный носитель и для каждого ⁠ $j\in J$⁠ , поддержка $\rho _{j}\subseteq U_{i}$ для некоторых ⁠ $i\in I$⁠ .

Таким образом, можно выбрать либо индексацию опор открытой крышкой, либо компактные опоры. Если пространство компактно , то существуют разбиения, удовлетворяющие обоим требованиям.

Конечное открытое покрытие всегда имеет подчиненное ему непрерывное разбиение единицы, если пространство локально компактно и хаусдорфово. Паракомпактность пространства — необходимое условие, гарантирующее существование разбиения единства, подчиненного любому открытому покрытию . В зависимости от категории , к которой принадлежит помещение, оно может быть и достаточным условием. В конструкции используются мягчители (выпуклые функции), которые существуют в непрерывных и гладких многообразиях , но не существуют в аналитических многообразиях . Таким образом, для открытого покрытия аналитического многообразия аналитическое разбиение единицы, подчиненное этому открытому покрытию, вообще не существует. См. аналитическое продолжение .

Если ⁠ $R$⁠ и ⁠ $T$⁠ — разбиения единицы пространств ⁠ $X$⁠ и ⁠ $Y$⁠ соответственно, то множество всех пар $\{\rho \otimes \tau :\ \rho \in R,\ \tau \in T\}$ является разбиением единицы произведений декартова пространства ⁠ $X\times Y$⁠ . Тензорное произведение функций действует как $(\rho \otimes \tau )(x,y)=\rho (x)\tau (y).$

Пример

Мы можем построить разбиение единицы на $S^{1}$ посмотрев на диаграмму дополнения точки $p\in S^{1}$ отправка $S^{1}-\{p\}$ к $\mathbb {R}$ с центром $q\in S^{1}$. Теперь позвольте $\Phi$ быть функцией удара на $\mathbb {R}$ определяется $$\Phi (x)={\begin{cases}\exp \left({\frac {1}{x^{2}-1}}\right)&x\in (-1,1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$ тогда и эта функция, и $1-\Phi$ может быть однозначно расширен на $S^{1}$ установив $\Phi (p)=0$. Тогда набор $\{(S^{1}-\{p\},\Phi ),(S^{1}-\{q\},1-\Phi )\}$ образует перегородку единства над $S^{1}$.

Варианты определений

Иногда используется менее строгое определение: сумма всех значений функции в определенной точке должна быть положительной, а не 1 для каждой точки пространства. Однако при таком наборе функций $\{\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }$ получить разбиение единицы в строгом смысле можно делением на сумму; раздел становится $\{\sigma ^{-1}\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }$ где ${\textstyle \sigma (x):=\sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)}$, что корректно определено, поскольку в каждой точке только конечное число членов ненулевые. Более того, некоторые авторы отказываются от требования локальной конечности носителей, требуя только, чтобы ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)<\infty }$ для всех $x$.

В области операторных алгебр разбиение единицы состоит из проекций $p_{i}=p_{i}^{*}=p_{i}^{2}$. В случае $\mathrm {C} ^{*}$-алгебры , можно показать, что элементы попарно ортогональны : $$p_{i}p_{j}=\delta _{i,j}p_{i}\qquad (p_{i},\,p_{j}\in R).$$Обратите внимание не попарно ортогональны. , что в общей *-алгебре элементы разбиения единицы

Если $a$ является обычным элементом единицы $\mathrm {C} ^{*}$-алгебра $A$и имеет конечный спектр $\sigma (a)=\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}\}$, то проекции в спектральном разложении : $$a=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\,P_{i},$$образуют раздел единства.

В области компактных квантовых групп строки и столбцы фундаментального представления $u\in M_{N}(C)$ квантовой группы перестановок $(C,u)$ образуют перегородки единства.

Приложения

Разделение единицы можно использовать для определения интеграла (относительно формы объема ) функции, определенной на многообразии: сначала определяется интеграл функции, носитель которой содержится в одном координатном участке многообразия; затем используется разбиение единицы для определения интеграла произвольной функции; наконец, показано, что определение не зависит от выбранного разбиения единицы.

Разбиение единицы можно использовать, чтобы показать существование римановой метрики на произвольном многообразии.

Метод наискорейшего спуска использует разбиение единицы для построения асимптотики интегралов.

Фильтр Линквица – Райли является примером практической реализации разделения единицы для разделения входного сигнала на два выходных сигнала, содержащих только высокочастотные или низкочастотные компоненты.

Полиномы Бернштейна фиксированной степени m представляют собой семейство из m +1 линейно независимых многочленов, которые являются разбиением единицы для единичного интервала. $[0,1]$.

Разбиения единицы используются для установления глобальных гладких аппроксимаций функций Соболева в ограниченных областях.

См. также

• Гладкость § Гладкие разбиения единицы
• Аксиома склеивания
• Тонкий сноп

Ссылки

• Ту, Лоринг В. (2011), Введение в многообразия , Universitext (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4419-7400-6 , ISBN  978-1-4419-7399-3 , см. главу 13

Внешние ссылки

• Общая информация о разделе единства в [Mathworld]