М-тест Вейерштрасса

В математике — М-тест Вейерштрасса это тест, позволяющий определить, ли бесконечный функций ряд сходится равномерно и абсолютно . Он применяется к рядам, членами которых являются ограниченные функции с действительными или комплексными значениями, и аналогичен тесту сравнения для определения сходимости рядов действительных или комплексных чисел. Назван в честь немецкого математика Карла Вейерштрасса (1815-1897).

Заявление

М-тест Вейерштрасса. Предположим, что ( f _n ) — последовательность вещественных или комплекснозначных функций, определенных на множестве A , и что существует последовательность неотрицательных чисел ( M _n ), удовлетворяющая условиям

• $|f_{n}(x)|\leq M_{n}$ для всех $n\geq 1$ и все $x\in A$, и
• $\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ сходится.

Тогда сериал

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$

сходится абсолютно и равномерно на A .

Ряд, удовлетворяющий условию, называется нормально сходящимся . Результат часто используется в сочетании с равномерной предельной теоремой . что если, помимо указанных выше условий, множество A является топологическим пространством и функции fn _{говорят ,} непрерывны Вместе они на A , то ряд сходится к непрерывной функции.

Доказательство

Рассмотрим последовательность функций

$S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x).$

Начиная с сериала $\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ сходится и Mn _для ≥ 0 любого n , то по Коши критерию

$\forall \varepsilon >0:\exists N:\forall m>n>N:\sum _{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon .$

выбранного N Для

$\forall x\in A:\forall m>n>N$

$\left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{m}f_{k}(x)\right|{\overset {(1)}{\leq }}\sum _{k=n+1}^{m}|f_{k}(x)|\leq \sum _{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon .$

(Неравенство (1) следует из неравенства треугольника .)

Таким образом, последовательность Sn _и ( x ) является последовательностью Коши в R или C по полноте сходится к некоторому числу S ( x ) , которое зависит от x . Для n > N мы можем написать

$\left|S(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\lim _{m\to \infty }S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\lim _{m\to \infty }\left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|\leq \varepsilon .$

Поскольку N не зависит от x что последовательность сходится _{частичных сумм Sn} равномерно к функции S. , это означает , Следовательно, по определению ряд $\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)$ сходится равномерно.

Аналогично можно доказать, что $\sum _{k=1}^{\infty }|f_{k}(x)|$ сходится равномерно.

Обобщение

Более общая версия M-теста Вейерштрасса справедлива, если общая область значений функций ( f _n ) является банаховым пространством , и в этом случае посылка

$|f_{n}(x)|\leq M_{n}$

должен быть заменен на

$\|f_{n}(x)\|\leq M_{n}$,

где $\|\cdot \|$ является нормой в банаховом пространстве. Пример использования этого теста в банаховом пространстве см. в статье « Производная Фреше» .

См. также

• Пример М-теста Вейерштрасса

Ссылки

• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Рудин, Уолтер (май 1986 г.). Реальный и комплексный анализ . МакГроу-Хилл Наука/инженерия/математика. ISBN  0-07-054234-1 .
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . МакГроу-Хилл Наука/инженерия/математика.
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж. Н. (1927). Курс современного анализа (Четвертое изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 49.