Теорема Мореры

В комплексном анализе , разделе математики , теорема Мореры , названная в честь Джачинто Мореры , дает важный критерий для доказательства того, функция голоморфна что .

Теорема Мореры утверждает, что непрерывная комплексная определенная функция f, на открытом множестве D в комплексной плоскости , которая удовлетворяет условию $\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0$ для каждого замкнутого кусочно C ¹ изгиб $\gamma$ в D должен быть голоморфен на D .

Предположение теоремы Мореры эквивалентно тому, что f локально имеет первообразную на D .

Обратное утверждение теоремы, вообще говоря, неверно. Голоморфная функция не обязательно должна иметь первообразную в своей области определения, если не накладывать дополнительные предположения. Обратное справедливо, например, если область односвязна ; это интегральная теорема Коши , утверждающая, что линейный интеграл голоморфной функции вдоль замкнутой кривой равен нулю.

Стандартный контрпример — это функция $f (z) = 1/ z$ , голоморфная на C − {0}. В любой односвязной окрестности U в C − {0} 1/ z имеет первообразную, определяемую формулой $L (z) = ln(r) + iθ$ , где $z = re iθ$ . Из-за неоднозначности θ вплоть до добавления любого целого числа, кратного 2 $π$ , любого непрерывного выбора θ на U будет достаточно, чтобы определить первообразную 1/ z на U . (Именно тот факт, что θ не может быть определена непрерывно на простой замкнутой кривой, содержащей начало координат внутри, является корнем того, почему 1/ z не имеет первообразной во всей своей области C − {0}.) И поскольку производная аддитивная константа равна 0, к первообразной можно добавить любую константу, и результат все равно будет первообразной 1/ z .

В определенном смысле контрпример 1/ z является универсальным: для каждой аналитической функции, не имеющей первообразной в своей области определения, причина этого в том, что сама 1/ z не имеет первообразной в C − {0}.

Доказательство

Существует относительно элементарное доказательство теоремы. Первообразную для f строят явно.

Без ограничения общности можно считать, D связен что . Зафиксируйте точку z0 _D в и для любого $z\in D$ , позволять $\gamma :[0,1]\to D$ быть кусочным C ¹ кривая такая, что $\gamma (0)=z_{0}$ и $\gamma (1)=z$ . Затем определите функцию F как $F(z)=\int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta .$

Чтобы убедиться, что функция корректно определена, предположим, что $\tau :[0,1]\to D$ это еще один кусочный C ¹ кривая такая, что $\tau (0)=z_{0}$ и $\tau (1)=z$ . Кривая $\gamma \tau ^{-1}$ (т.е. кривая, объединяющая $\gamma$ с $\tau$ наоборот) является замкнутым кусочно C ¹ в D. кривая Затем, $\int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta +\int _{\tau ^{-1}}f(\zeta )\,d\zeta =\oint _{\gamma \tau ^{-1}}f(\zeta )\,d\zeta =0.$

И отсюда следует, что $\int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta =\int _{\tau }f(\zeta )\,d\zeta .$

Затем, используя непрерывность f для оценки разностных коэффициентов, мы получаем, что F ′( z ) = f ( z ). Если бы мы выбрали другой z ₀ в D , F изменилась бы на константу: а именно, на результат интегрирования f по любой кусочно-регулярной кривой между новым z ₀ и старым, и это не меняет производную.

Поскольку f является производной голоморфной функции F , она голоморфна. Тот факт, что производные голоморфных функций голоморфны, можно доказать, используя тот факт, что голоморфные функции аналитичны , т. е. могут быть представлены сходящимся степенным рядом , и тот факт, что степенные ряды можно дифференцировать почленно. Это завершает доказательство.

Приложения

Теорема Мореры — стандартный инструмент комплексного анализа . Он используется практически в любом аргументе, который включает в себя неалгебраическую конструкцию голоморфной функции.

Единые пределы

Например, предположим, что f ₁ , f ₂ , ... — последовательность голоморфных функций, равномерно сходящаяся к непрерывной функции f на открытом диске. По теореме Коши мы знаем, что $\oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0$ для каждого n вдоль любой замкнутой кривой C в круге. Тогда из равномерной сходимости следует, что $\oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}\lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\,dz=\lim _{n\to \infty }\oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0$ для любой замкнутой кривой C и, следовательно, по теореме Мореры f должна быть голоморфной. Этот факт можно использовать, чтобы показать, что для любого открытого множества $Ω \subseteq C$ множество $A (Ω)$ всех ограниченных аналитических функций $u : Ω \to C$ является банаховым пространством относительно супремума нормы .

Бесконечные суммы и интегралы

Теорему Мореры также можно использовать в сочетании с теоремой Фубини и М-тестом Вейерштрасса, чтобы показать аналитичность функций, определяемых суммами или интегралами, таких как дзета-функция Римана. $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$ или гамма-функция $\Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx.$

В частности, показано, что $\oint _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =0$ для подходящей замкнутой кривой C , написав $\oint _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =\oint _{C}\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx\,d\alpha$ а затем, используя теорему Фубини, чтобы оправдать изменение порядка интегрирования, получив $\int _{0}^{\infty }\oint _{C}x^{\alpha -1}e^{-x}\,d\alpha \,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\oint _{C}x^{\alpha -1}\,d\alpha \,dx.$

Тогда используется аналитичность $α \mapsto x α -1$ сделать вывод, что $\oint _{C}x^{\alpha -1}\,d\alpha =0,$ и, следовательно, двойной интеграл, указанный выше, равен 0. Аналогично, в случае дзета-функции М-тест оправдывает замену интеграла по замкнутой кривой и суммы.

Ослабление гипотез

Условия теоремы Мореры можно существенно ослабить. В частности, достаточно интеграла $\oint _{\partial T}f(z)\,dz$ быть нулевым для каждого замкнутого (сплошного) треугольника T, содержащегося в области D . Фактически это характеризует голоморфность, т. е. f голоморфно на D тогда и только тогда, когда выполняются указанные выше условия. также следует следующее обобщение упомянутого выше факта о равномерных пределах голоморфных функций: если f1 _Отсюда , f2 _{, сходящаяся к} ,... — последовательность голоморфных функций, определенных на открытом множестве $Ω \subseteq C$ функции f равномерно на компакте подмножества Ω, то f голоморфно.

См. также

Ссылки

Альфорс, Ларс (1 января 1979 г.), Комплексный анализ , Международная серия по чистой и прикладной математике, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-000657-7 , Збл 0395.30001 .
Конвей, Джон Б. (1973), Функции одной комплексной переменной I , Тексты для аспирантов по математике, том. 11, Springer Verlag , ISBN 978-3-540-90328-4 , Збл 0277.30001 .
Грин, Роберт Э .; Кранц, Стивен Г. (2006), Теория функций одной комплексной переменной , Аспирантура по математике , том. 40, Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-3962-4
Морера, Джачинто (1886), «Основная теорема теории функций комплексной переменной» , Rendiconti del Reale Instituto Lombardo di Scienze e Lettere (на итальянском языке), 19 (2): 304–307, JFM 18.0338.02 .
Рудин, Уолтер (1987) [1966], Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), McGraw-Hill , стр. xiv + 416, ISBN 978-0-07-054234-1 , Збл 0925.00005 .

Внешние ссылки