Нормальная семья

В математике , со специальным применением к комплексному анализу , нормальное семейство — это предкомпактное подмножество пространства непрерывных функций . Неформально это означает, что функции в семье не широко разбросаны, а скорее сгруппированы в несколько «кластеризованном» порядке. Обратите внимание, что компактное семейство непрерывных функций автоматически является нормальным семейством.Иногда, если каждая функция в нормальном семействе F удовлетворяет определенному свойству (например, голоморфна ),тогда это свойство справедливо и для каждой предельной точки множества F .

Более формально, пусть X и Y — топологические пространства . Набор непрерывных функций $f:X\to Y$ имеет естественную топологию, называемую компактно-открытой топологией . Нормальное семейство является предкомпактным подмножеством относительно этой топологии.

Если Y — метрическое пространство , то компактно-открытая топология эквивалентна топологии компактной сходимости , и мы получаем определение, более близкое к классическому: совокупность F непрерывных функций называется нормальным семейством если каждая последовательность функций из F содержит подпоследовательность которая сходится равномерно на компактных подмножествах X Y к непрерывной функции из X в , . То есть для каждой последовательности функций из F существует подпоследовательность $f_{n}(x)$ и непрерывная функция $f(x)$ из X в Y выполняется следующее такой, что для каждого компактного подмножества K , содержащегося в X, :

$\lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{x\in K}d_{Y}(f_{n}(x),f(x))=0$

где $d_{Y}$ является метрикой ​ Y .

Нормальные семейства голоморфных функций

Это понятие возникло в комплексном анализе , то есть изучении голоморфных функций . В этом случае X — открытое подмножество комплексной плоскости , Y — комплексная плоскость, а метрика на Y определяется выражением $d_{Y}(y_{1},y_{2})=|y_{1}-y_{2}|$. Как следствие интегральной теоремы Коши , последовательность голоморфных функций, сходящаяся равномерно на компактах, должна сходятся к голоморфной функции. То есть каждая предельная точка нормального семейства голоморфна.

Нормальные семейства голоморфных функций обеспечивают самый быстрый способ доказательства теоремы Римана об отображении .

В более общем смысле, если пространства X и Y являются римановыми поверхностями , а Y снабжено метрикой, вытекающей из теоремы об униформизации , то каждая предельная точка нормального семейства голоморфных функций $f:X\to Y$ также голоморфен.

Например, если Y — сфера Римана , то метрикой униформизации является сферическое расстояние . В этом случае голоморфная функция от X до Y называется мероморфной функцией , и поэтому каждая предельная точка нормального семейства мероморфных функций является мероморфной функцией.

Критерии

В классическом контексте голоморфных функций существует несколько критериев, которые можно использовать для установления нормальности семейства: Теорема Монтеля утверждает, что семейство локально ограниченных голоморфных функций нормально. Теорема Монтеля -Каратеодори утверждает, что семейство мероморфных функций, пропускающих три различных значения в расширенной комплексной плоскости, является нормальным. Для семейства голоморфных функций это сводится к требованию опустить два значения, рассматривая каждую функцию как мероморфную функцию, опускающую значение бесконечности.

Теорема Марти обеспечивает критерий, эквивалентный нормальности в контексте мероморфных функций: семейство $F$ мероморфных функций из области $U\subset \mathbb {C}$ на комплексную плоскость является нормальным семейством тогда и только тогда, когда для каждого компактного подмножества K в U существует константа C такая, что для каждого $f\in F$ и для каждого z из K мы имеем

${\frac {2|f'(z)|}{1+|f(z)|^{2}}}\leq C.$

Действительно, выражение слева представляет собой формулу возврата элемента длины дуги на сфере Римана к комплексной плоскости посредством обратной стереографической проекции .

История

Поль Монтель впервые ввел термин «нормальная семья» в 1911 году. Поскольку концепция нормальной семьи всегда была очень важна для комплексного анализа, терминология Монтеля все еще используется по сей день, хотя с современной точки зрения фразу «предкомпактное подмножество» некоторые математики могут предпочесть . Обратите внимание: хотя понятие компактной открытой топологии обобщает и уточняет эту концепцию, во многих приложениях исходное определение более практично.

См. также

• Фундаментальный тест на нормальность

Ссылки

• Альфорс, Ларс В. (1953), Комплексный анализ. Введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной , МакГроу-Хилл
• Альфорс, Ларс В. (1966), Комплексный анализ. Введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной , Международная серия по чистой и прикладной математике (2-е изд.), McGraw-Hill.
• Альфорс, Ларс В. (1978), Комплексный анализ. Введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной , Международная серия по чистой и прикладной математике (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN  0070006571
• Бердон, Алан Ф. (1979), Комплексный анализ. Принцип аргументации в анализе и топологии , John Wiley & Sons, ISBN  0471996718
• Чуанг, Чи Тай (1993), Нормальные семейства мероморфных функций , World Scientific, ISBN  9810212577
• Конвей, Джон Б. (1978). Функции одной комплексной переменной I . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-90328-3 .
• Гамелен, Теодор В. (2001). Комплексный анализ . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-95093-1 .
• Марти, Фредерик : Исследование распределения значений мероморфной функции. Энн. Фак. наук. унив. Тулуза, 1931, 28, № 3, с. 183–261.
• Монтель, Поль (1927), Уроки нормальных семейств аналитических функций и их приложений (на французском языке), Готье-Виллар
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология . Прентис Холл. ISBN  0-13-181629-2 .
• Шифф, Дж. Л. (1993). Нормальные семьи . Издательство Спрингер. ISBN  0-387-97967-0 .

Эта статья включает в себя материалы из обычной семьи по PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .