Преобразование Жуковского

В прикладной математике ( преобразование Жуковского иногда транслитерируемое Жуковским , Жуковским или Жуковским ) представляет собой конформную карту, исторически использовавшуюся для понимания некоторых принципов конструкции крыла . Названо в честь Николая Жуковского , опубликовавшего его в 1910 году. ^[1]

Преобразование

z=\zeta +{\frac {1}{\zeta }},

где $z=x+iy$ является комплексной переменной в новом пространстве и $\zeta =\chi +i\eta$ — комплексная переменная в исходном пространстве.

В аэродинамике преобразование используется для расчета двумерного потенциального обтекания класса профилей, известных как профили Жуковского. Профиль Жуковского создается в комплексной плоскости ( $z$ -плоскость), применив преобразование Жуковского к кругу в $\zeta$ -самолет. Координаты центра круга являются переменными, и их изменение меняет форму полученного профиля. Круг окружает точку $\zeta =-1$ (где производная равна нулю) и пересекает точку $\zeta =1.$ Этого можно добиться для любого допустимого центрального положения. $\mu _{x}+i\mu _{y}$ изменяя радиус круга.

Профили Жуковского имеют выступ на задней кромке . Тесно связанное конформное отображение, преобразование Кармана-Треффца , генерирует более широкий класс профилей Кармана-Треффца путем управления углом задней кромки. Когда задан нулевой угол задней кромки, преобразование Кармана-Треффца сводится к преобразованию Жуковского.

Преобразование генерала Жуковского

Преобразование Жуковского любого комплексного числа $\zeta$ к $z$ заключается в следующем:

{\begin{aligned}z&=x+iy=\zeta +{\frac {1}{\zeta }}\\&=\chi +i\eta +{\frac {1}{\chi +i\eta }}\\[2pt]&=\chi +i\eta +{\frac {\chi -i\eta }{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\\[2pt]&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right)+i\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}

Так что настоящий( $x$ ) и мнимый ( $y$ ) компоненты:

{\begin{aligned}x&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right),\\[2pt]y&=\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}

Образец профиля Жуковского

Преобразование всех комплексных чисел на единичной окружности является особым случаем.

$|\zeta |={\sqrt {\chi ^{2}+\eta ^{2}}}=1,$

что дает

$\chi ^{2}+\eta ^{2}=1.$

Таким образом, реальный компонент становится ${\textstyle x=\chi (1+1)=2\chi }$ и мнимая компонента становится ${\textstyle y=\eta (1-1)=0}$ .

Таким образом, комплексный единичный круг отображается на плоскую пластину на линии действительных чисел от -2 до +2.

Преобразования из других кругов создают широкий спектр форм аэродинамических профилей.

Поле скоростей и циркуляция профиля Жуковского

Решение потенциального обтекания круглого цилиндра является аналитическим и хорошо известно. Это суперпозиция однородного потока , дублета и вихря .

Комплексно-сопряженная скорость ${\widetilde {W}}={\widetilde {u}}_{x}-i{\widetilde {u}}_{y},$ по кругу в $\zeta$ -самолет ${\widetilde {W}}=V_{\infty }e^{-i\alpha }+{\frac {i\Gamma }{2\pi (\zeta -\mu )}}-{\frac {V_{\infty }R^{2}e^{i\alpha }}{(\zeta -\mu )^{2}}},$

где

$\mu =\mu _{x}+i\mu _{y}$ – комплексная координата центра круга,
$V_{\infty }$ - скорость набегающего потока жидкости,

$\alpha$ - угол атаки профиля относительно набегающего потока,

$R$ - радиус круга, рассчитанный с помощью ${\textstyle R={\sqrt {\left(1-\mu _{x}\right)^{2}+\mu _{y}^{2}}}}$ ,
$\Gamma$ — циркуляция , найденная с помощью условия Кутты , которая в этом случае сводится к $\Gamma =4\pi V_{\infty }R\sin \left(\alpha +\sin ^{-1}{\frac {\mu _{y}}{R}}\right).$

Комплексная скорость $W$ вокруг профиля в $z$ -плоскость есть, согласно правилам конформного отображения и с использованием преобразования Жуковского, $W={\frac {\widetilde {W}}{\frac {dz}{d\zeta }}}={\frac {\widetilde {W}}{1-{\frac {1}{\zeta ^{2}}}}}.$

Здесь $W=u_{x}-iu_{y},$ с $u_{x}$ и $u_{y}$ компоненты скорости в $x$ и $y$ направления соответственно ( $z=x+iy,$ с $x$ и $y$ реальная стоимость). По этой скорости можно рассчитать другие интересующие свойства потока, такие как коэффициент давления и подъемная сила на единицу пролета.

Преобразование Кармана – Треффца

Преобразование Кармана -Треффца представляет собой конформное отображение, тесно связанное с преобразованием Жуковского. В то время как профиль Жуковского имеет заостренную заднюю кромку, профиль Кармана-Треффца , который является результатом преобразования круга в $\zeta$ -план к физическому $z$ -плоскость, аналог определения профиля Жуковского — имеет ненулевой угол у задней кромки, между верхней и нижней поверхностью профиля. Таким образом, преобразование Кармана – Треффца требует дополнительного параметра: угла задней кромки. $\alpha .$ Это преобразование ^[2]^[3]

z=nb{\frac {(\zeta +b)^{n}+(\zeta -b)^{n}}{(\zeta +b)^{n}-(\zeta -b)^{n}}},

( А )

где $b$ — действительная константа, определяющая позиции, в которых $dz/d\zeta =0$ , и $n$ немного меньше 2. Угол $\alpha$ между касательными верхней и нижней поверхностей профиля на задней кромке связано с $n$ как ^[2]

\alpha =2\pi -n\pi ,\quad n=2-{\frac {\alpha }{\pi }}.

Производная $dz/d\zeta$ , необходимый для вычисления поля скоростей, равен

{\frac {dz}{d\zeta }}={\frac {4n^{2}}{\zeta ^{2}-1}}{\frac {\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}}{\left[\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}-\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\right]^{2}}}.

Фон

Сначала добавьте и вычтите 2 из преобразования Жуковского, как указано выше:

{\begin{aligned}z+2&=\zeta +2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta +1)^{2},\\[3pt]z-2&=\zeta -2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta -1)^{2}.\end{aligned}}

Разделив левую и правую части, получим

{\frac {z-2}{z+2}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{2}.

В правой части содержится (в качестве множителя) простой закон второй степени из теории потенциального потока , применяемый на задней кромке вблизи $\zeta =+1.$ Из теории конформных отображений известно, что это квадратичное отображение меняет полуплоскость в $\zeta$ -пространство в потенциальный поток вокруг полубесконечной прямой. Далее, значения степени меньше 2 приведут к обтеканию конечного угла. Итак, изменив степень преобразования Жуковского на значение чуть меньше 2, мы получим конечный угол вместо точки возврата. Замена 2 на $n$ в предыдущем уравнении дает ^[2]

{\frac {z-n}{z+n}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{n},

что представляет собой преобразование Кармана – Треффца. Решение для $z$ в виде уравнения А. дает его

Симметричные профили Жуковского

В 1943 году Сюэ-шэнь Цзянь опубликовал преобразование окружности радиуса $a$ в симметричный профиль, который зависит от параметра $\epsilon$ и угол наклона $\alpha$ : ^[4]

z=e^{i\alpha }\left(\zeta -\epsilon +{\frac {1}{\zeta -\epsilon }}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{a+\epsilon }}\right).

Параметр $\epsilon$ дает плоскую пластину, когда ноль, и круг, когда бесконечен; таким образом, он соответствует толщине аэродинамического профиля. Кроме того, радиус цилиндра $a=1+\epsilon$ .

Примечания

^ Жуковский, Н. Э. (1910). «О контурах крыльев дельтапланов». Журнал авиационной техники и автомобильной авиации (на немецком языке). 1 :281-284 и (1912) 3 :81-86.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Милн-Томсон, Луи М. (1973). Теоретическая аэродинамика (4-е изд.). Дувр Пабл. стр. 128–131 . ISBN 0-486-61980-Х .
^ Блом, JJH (1981). «Некоторые характеристические величины профилей Кармана-Треффца» (Документ). Технический меморандум НАСА TM-77013.
^ Цянь, Сюэ-шэнь (1943). «Симметричные профили Жуковского в сдвиговом потоке» . Ежеквартальный журнал прикладной математики . 1 (2): 130–248. дои : 10.1090/qam/8537 .

Ссылки

Андерсон, Джон (1991). Основы аэродинамики (Второе изд.). Торонто: МакГроу – Хилл. стр. 195–208. ISBN 0-07-001679-8 .
Зингг, Д.В. (1989). «Вычисления Эйлера при малых числах Маха» . НАСА ТМ-102205.

Внешние ссылки

[1] Жуковский, Н. Э. (1910). «О контурах крыльев дельтапланов». Журнал авиационной техники и автомобильной авиации (на немецком языке). 1 :281-284 и (1912) 3 :81-86.

[MT-2] Jump up to: ^а ^б ^с Милн-Томсон, Луи М. (1973). Теоретическая аэродинамика (4-е изд.). Дувр Пабл. стр. 128–131 . ISBN 0-486-61980-Х .

[JB-3] Блом, JJH (1981). «Некоторые характеристические величины профилей Кармана-Треффца» (Документ). Технический меморандум НАСА TM-77013.

[4] Цянь, Сюэ-шэнь (1943). «Симметричные профили Жуковского в сдвиговом потоке» . Ежеквартальный журнал прикладной математики . 1 (2): 130–248. дои : 10.1090/qam/8537 .

[1]

[2]

[3]

[4]