Потенциальный поток вокруг круглого цилиндра

В математике жидкости вокруг цилиндра , круглого цилиндра это классическое решение для обтекания невязкой несжимаемой — потенциальное обтекание поперечного потоку. Вдали от цилиндра поток однонаправленный и равномерный. Поток не имеет завихренности , поэтому поле скоростей является безвихревым и может быть смоделировано как потенциальное течение . В отличие от реальной жидкости, это решение указывает на чистое нулевое сопротивление тела, результат, известный как парадокс Даламбера .

Математическое решение

Цвета: поле давления. **Красный** – высокий и **синий** низкий. Векторы скорости.

Крупный план одного квадранта потока. Цвета: поле давления. **Красный** – высокий и **синий** низкий. Векторы скорости.

Поле давления (цвета), функция тока ( **черный** ) с интервалом контура $0,2 Ur$ снизу вверх, потенциал скорости ( **белый** ) с интервалом контура $0,2 Ur$ слева направо.

Цилиндр (или диск) радиуса $R$ помещен в двумерный несжимаемый невязкий поток. Цель состоит в том, чтобы найти установившийся вектор скорости $V$ и давление $p$ в плоскости при условии, что вдали от цилиндра вектор скорости (относительно единичных векторов $i$ и $j$ ) равен: ^[1]

\mathbf {V} =U\mathbf {i} +0\mathbf {j} \,,

где $U$ — постоянная, а на границе цилиндра

\mathbf {V} \cdot \mathbf {\hat {n}} =0\,,

где $n̂$ — вектор нормали к поверхности цилиндра. Восходящий поток однороден и не имеет завихренности. Течение невязкое, несжимаемое и имеет постоянную массовую плотность $ρ$ . Таким образом, поток остается без завихренности или называется безвихревым с $\nabla \times V = 0$ всюду. Будучи безвихревым, должен существовать потенциал скорости $φ$ :

\mathbf {V} =\nabla \phi \,.

Будучи несжимаемым, $\nabla \cdot V = 0$ , поэтому $φ$ должна удовлетворять уравнению Лапласа :

\nabla ^{2}\phi =0\,.

Решение для $φ$ легче всего получить в полярных координатах $r$ и $θ$ , связанных с обычными декартовыми координатами соотношениями $x = r cos θ$ и $y = r sin θ$ . В полярных координатах уравнение Лапласа имеет вид (см. Дель в цилиндрических и сферических координатах ):

{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \phi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \theta ^{2}}}=0\,.

Решение, удовлетворяющее граничным условиям, есть ^[2]

\phi (r,\theta )=Ur\left(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)\cos \theta \,.

Компоненты скорости в полярных координатах получаются из компонент $\nabla φ$ в полярных координатах:

V_{r}={\frac {\partial \phi }{\partial r}}=U\left(1-{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)\cos \theta

и

V_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}=-U\left(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta \,.

Будучи невязким и безвихревым, уравнение Бернулли позволяет получить решение для поля давления непосредственно из поля скорости:

p={\tfrac {1}{2}}\rho \left(U^{2}-V^{2}\right)+p_{\infty },

константы $U$ и $p\infty p$ появляются так, что $\to p\infty вдали где$ от цилиндра, где $V = U$ . Использование $V 2 = V 2 r + V 2 я$ ,

p={\tfrac {1}{2}}\rho U^{2}\left(2{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\cos(2\theta )-{\frac {R^{4}}{r^{4}}}\right)+p_{\infty }\,.

На рисунках раскрашенное поле, называемое «давлением», представляет собой график

2{\frac {p-p_{\infty }}{\rho U^{2}}}=2{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\cos(2\theta )-{\frac {R^{4}}{r^{4}\,}}.

На поверхности цилиндра, или $r = R$ , давление изменяется от максимума до 1 (показано на диаграмме в красный ) в точках застоя при $θ = 0$ и $θ = π$ до минимума −3 (показано на рис. синий ) по бокам цилиндра, при $θ = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ π / 2 ⁠$ и $θ = ⁠ 3π / 2 ⁠$ . Аналогично $V$ изменяется от $V = 0$ в застойных точках до $V = 2 U$ по бокам, при низком давлении. ^[1]

Функция потока

Поскольку поток несжимаем, функцию тока можно найти такую, что

\mathbf {V} =\nabla \psi \times \mathbf {k} \,.

Из этого определения следует, используя векторные тождества ,

\mathbf {V} \cdot \nabla {\psi }=0\,.

Следовательно, контур постоянного значения $ψ$ также будет линией тока, касательной к $V$ . Для обтекания цилиндра находим:

\psi =U\left(r-{\frac {R^{2}}{r}}\right)\sin \theta \,.

Физическая интерпретация

Уравнение Лапласа линейно и является одним из самых элементарных уравнений в частных производных . Это простое уравнение дает полное решение как для $V$ , так и $для p$ из-за ограничений безвихревости и несжимаемости. Получив решение для $V$ и $p$ , можно отметить соответствие градиента давления ускорениям.

Динамическое давление в восходящей критической точке имеет значение $⁠ 1 / 2 ⁠ ρU 2$ . необходимое для замедления набегающего потока со скоростью $U.$ значение , Это же значение появляется и в критической точке ниже по потоку; это высокое давление снова необходимо для замедления потока до нулевой скорости. Эта симметрия возникает только потому, что поток совершенно лишен трения.

Низкое давление по бокам цилиндра необходимо для обеспечения центростремительного ускорения потока:

{\frac {\partial p}{\partial r}}={\frac {\rho V^{2}}{L}}\,,

где $L$ — радиус кривизны потока. ^{[ нужна ссылка ]} Но $L \approx R$ , $V \approx U.$ а Таким образом, интеграл уравнения центростремительного ускорения на расстоянии $Δ r \approx R$ даст

p-p_{\infty }\approx -\rho U^{2}\,.

Точное решение для наименьшего давления имеет

p-p_{\infty }=-{\tfrac {3}{2}}\rho U^{2}\,.

Низкое давление, которое должно присутствовать для обеспечения центростремительного ускорения, также будет увеличивать скорость потока по мере того, как жидкость перемещается от более высоких значений давления к более низким. Таким образом, находим максимальную скорость потока $V = 2 U$ при низком давлении на стенках цилиндра.

Значение $V > U$ соответствует сохранению объема жидкости. Поскольку цилиндр блокирует часть потока, $V$ должно быть больше $U$ где-то в плоскости, проходящей через центр цилиндра и поперек потока.

Сравнение с обтеканием цилиндра реальной жидкостью.

Симметрия этого идеального решения имеет критические точки как на задней стороне цилиндра, так и на передней стороне. Распределение давления по передней и задней сторонам идентично, что приводит к специфическому свойству нулевого сопротивления цилиндра, свойству, известному как парадокс Даламбера . В отличие от идеальной невязкой жидкости вязкое обтекание цилиндра, какой бы малой ни была вязкость, приобретет тонкий пограничный слой, прилегающий к поверхности цилиндра. отрыв пограничного слоя Произойдет след и в потоке за цилиндром будет существовать . Давление в каждой точке на стороне следа цилиндра будет ниже, чем на стороне выше по потоку, что приведет к возникновению силы сопротивления в направлении вниз по потоку.

Расширение Янцена – Рэлея

Задача о потенциальном обтекании сжимаемого цилиндра впервые была изучена О. Янценом в 1913 г. ^[3] и лордом Рэлеем в 1916 году. ^[4] с небольшими сжимающими эффектами. Здесь малый параметр представляет собой квадрат числа Маха. $\mathrm {M} ^{2}=U^{2}/c^{2}\ll 1$ , где $c$ — скорость звука . Тогда решение первого порядка приближения по потенциалу скорости имеет вид

\phi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\cos \theta -\mathrm {M} ^{2}{\frac {Ur}{12}}\left[\left({\frac {13a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {6a^{4}}{r^{4}}}+{\frac {a^{6}}{r^{6}}}\right)\cos \theta +\left({\frac {a^{4}}{r^{4}}}-{\frac {3a^{2}}{r^{2}}}\right)\cos 3\theta \right]+\mathrm {O} \left(\mathrm {M} ^{4}\right)\,

где $a$ это радиус цилиндра.

Потенциальный поток через круглый цилиндр с небольшими изменениями

Анализ регулярных возмущений для обтекания цилиндра с небольшими возмущениями в конфигурациях можно найти у Милтона Ван Дайка (1975). ^[5] В дальнейшем $ε$ будет представлять собой небольшой положительный параметр, а $a$ — радиус цилиндра. Для более подробного анализа и обсуждения читатели отсылаются к книге Милтона Ван Дайка 1975 года «Методы возмущений в механике жидкости» . ^[5]

Немного деформированный цилиндр

Здесь радиус цилиндра не $r = a$ , а слегка искаженная форма $r = a (1 - ε sin 2 θ)$ . Тогда решение первого порядка приближения будет

\psi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +\varepsilon {\frac {Ur}{2}}\left({\frac {3a^{2}}{r^{2}}}\sin \theta -{\frac {a^{4}}{r^{4}}}\sin 3\theta \right)+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)

Слегка пульсирующий круг

Здесь радиус цилиндра незначительно меняется со временем, поэтому $r = a (1 + ε f (t))$ . Тогда решение первого порядка приближения будет

\psi (r,\theta ,t)=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +\varepsilon Ur\left({\frac {a^{2}}{Ur}}\theta f'(t)-{\frac {2a^{2}}{r^{2}}}f(t)\sin \theta \right)+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)

Течение с небольшой завихренностью

В общем случае скорость набегающего потока $U$ однородна, другими словами, $ψ = Uy$ , но при этом во внешнем потоке возникает небольшая завихренность.

Линейный сдвиг

Здесь вводится линейный сдвиг скорости.

{\begin{aligned}\psi &=U\left(y+{\frac {1}{2}}\varepsilon {\frac {y^{2}}{a}}\right)\,,\\[3pt]\omega &=-\nabla ^{2}\psi =-\varepsilon {\frac {U}{a}}\quad {\text{as }}x\rightarrow -\infty \,,\end{aligned}}

где $ε$ — малый параметр. Основное уравнение:

\nabla ^{2}\psi =-\omega (\psi )\,.

Тогда решение первого порядка приближения будет

\psi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +\varepsilon {\frac {Ur}{4}}\left({\frac {r}{a}}(1-\cos 2\theta )+{\frac {a^{3}}{r^{3}}}\cos 2\theta -{\frac {a}{r}}\right)+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)\,.

Параболический сдвиг

Здесь вводится параболический сдвиг внешней скорости.

{\begin{aligned}\psi &=U\left(y+{\tfrac {1}{6}}\varepsilon {\frac {y^{3}}{a^{2}}}\right)\,,\\\omega &=-\nabla ^{2}\psi =-\varepsilon U{\frac {y}{a^{2}}}\quad {\text{as }}x\rightarrow -\infty \,.\end{aligned}}

Тогда решение первого приближения будет

\psi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +\varepsilon {\frac {Ur}{6}}\left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}\theta -3r\ln r\sin \theta +\chi \right)+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)\,,

где $х$ — однородное решение уравнения Лапласа, восстанавливающее граничные условия.

Слегка пористый цилиндр

Пусть $C ps$ представляет собой коэффициент поверхностного давления для непроницаемого цилиндра:

C_{\mathrm {ps} }={\frac {p_{s}-p_{\infty }}{{\tfrac {1}{2}}\rho U^{2}}}=1-4\sin ^{2}\theta =2\cos 2\theta -1\,,

где $p s$ — поверхностное давление непроницаемого цилиндра. Теперь пусть $C pi$ — коэффициент внутреннего давления внутри цилиндра, тогда небольшая нормальная скорость из-за небольшой пористости определяется выражением

{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}=\varepsilon U\left(C_{\mathrm {pi} }-C_{\mathrm {ps} }\right)=\varepsilon U\left(C_{\mathrm {pi} }+1-2\cos 2\theta \right)\quad {\text{at }}r=a\,,

но условие нулевого суммарного потока

\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\,\mathrm {d} \theta =0

требует, чтобы $C pi = -1$ . Поэтому,

{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}=-2\varepsilon rU\cos 2\theta \quad {\text{at }}r=a\,.

Тогда решение первого приближения будет

\psi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta -\varepsilon U{\frac {a^{3}}{r^{2}}}\sin 2\theta +\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)\,.

Гофрированный квазицилиндр

Если цилиндр имеет переменный радиус в осевом направлении, $ось z$ , $r = a (1 + ε sin ⁠ z / b ⁠)$ , то решение первого порядка приближения в терминах трехмерного потенциала скорости имеет вид

\phi (r,\theta ,z)=Ur\left(1+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\cos \theta -2\varepsilon Ub{\frac {K_{1}\left({\frac {r}{b}}\right)}{K_{1}'\left({\frac {r}{b}}\right)}}\cos \theta \sin {\frac {z}{b}}+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)\,,

где $К 1 (⁠ r / b ⁠)$ — модифицированная функция Бесселя первого рода первого порядка.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Бэтчелор, Джордж Кейт (2000). Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. п. 424. ИСБН 9780521663960 .
^ Ачесон, Дэвид Дж. (1990). Элементарная гидродинамика . Издательство Оксфордского университета. п. 130ff. ISBN 9780198596790 .
^ О. ЯНЗЕН, вклад в теорию стационарного течения сжимаемых жидкостей. Физ. Таймс., 14 (1913)
^ Рэлей, Л. (1916). I. Об течении сжимаемой жидкости мимо препятствия. Философский журнал и журнал науки Лондона, Эдинбурга и Дублина, 32 (187), 1–6.
^ Jump up to: ^а ^б Ван Дайк, Милтон (1975). Методы возмущений в механике жидкости (Аннотированное изд.). Стэнфорд, Калифорния: Parabolic Press. ISBN 978-0-915760-01-5 . ^{[ нужна страница ]}

[Batch-1] Jump up to: ^а ^б Бэтчелор, Джордж Кейт (2000). Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. п. 424. ИСБН 9780521663960 .

[2] Ачесон, Дэвид Дж. (1990). Элементарная гидродинамика . Издательство Оксфордского университета. п. 130ff. ISBN 9780198596790 .

[3] О. ЯНЗЕН, вклад в теорию стационарного течения сжимаемых жидкостей. Физ. Таймс., 14 (1913)

[4] Рэлей, Л. (1916). I. Об течении сжимаемой жидкости мимо препятствия. Философский журнал и журнал науки Лондона, Эдинбурга и Дублина, 32 (187), 1–6.

[vandyke-5] Jump up to: ^а ^б Ван Дайк, Милтон (1975). Методы возмущений в механике жидкости (Аннотированное изд.). Стэнфорд, Калифорния: Parabolic Press. ISBN 978-0-915760-01-5 . ^{[ нужна страница ]}

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]