Квазисимметричная карта

Для квазисимметричных функций в алгебраической комбинаторике см. квазисимметричную функцию .

В математике квазисимметричный билипшицевы гомеоморфизм метрических пространств — это отображение, обобщающее отображения . В то время как билипшицевы отображения сжимают или расширяют диаметр множества не более чем в мультипликативный коэффициент, квазисимметричные отображения удовлетворяют более слабому геометрическому свойству, заключающемуся в сохранении относительных размеров множеств: если два множества A и B имеют диаметры t и не более чем расстояние t друг от друга, то соотношение их размеров изменится не более чем на мультипликативную константу. Эти отображения также относятся к квазиконформным отображениям, поскольку во многих случаях они фактически эквивалентны.

Определение

Пусть ( X , dX ₎ и ( Y , dY ₎ — два метрических пространства . Гомеоморфизм : [0, ∞ ) f : X → Y называется η-квазисимметричным , если существует возрастающая функция η → [0, ∞) такая, что для любой тройки x , y , z различных точек из X имеем иметь

${\frac {d_{Y}(f(x),f(y))}{d_{Y}(f(x),f(z))}}\leq \eta \left({\frac {d_{X}(x,y)}{d_{X}(x,z)}}\right).$

Основные свойства

Обратные квазисимметричны.

Если f : X → Y является обратимым η -квазисимметричным отображением, как указано выше, то его обратное отображение есть $\eta '$-квазисимметричный, где ${\textstyle \eta '(t)=1/\eta ^{-1}(1/t).}$

Квазисимметричные карты сохраняют относительные размеры множеств.

Если $A$ и $B$ являются подмножествами $X$ и $A$ является подмножеством $B$, затем

${\frac {\eta ^{-1}({\frac {\operatorname {diam} B}{\operatorname {diam} A}})}{2}}\leq {\frac {\operatorname {diam} f(B)}{\operatorname {diam} f(A)}}\leq 2\eta \left({\frac {\operatorname {diam} B}{\operatorname {diam} A}}\right).$

Примеры

Слабо квазисимметричные отображения

Отображение f:X→Y называется H-слабо квазисимметричным для некоторого $H>0$ если для всех троек различных точек $x,y,z$ в $X$, затем

$|f(x)-f(y)|\leq H|f(x)-f(z)|\;\;\;{\text{ whenever }}\;\;\;|x-y|\leq |x-z|$

Не все слабо квазисимметричные отображения квазисимметричны. Однако, если $X$ подключен ​ и $X$ и $Y$ удваиваются , то все слабо квазисимметричные отображения квазисимметричны. Привлекательность этого результата состоит в том, что доказать слабую квазисимметрию гораздо проще, чем непосредственное доказательство квазисимметрии, и во многих естественных условиях эти два понятия эквивалентны.

δ-монотонные отображения

Монотонное отображение f : H → H в гильбертовом пространстве H является δ-монотонным, если для всех x и y в H ,

$\langle f(x)-f(y),x-y\rangle \geq \delta |f(x)-f(y)|\cdot |x-y|.$

Чтобы понять, что это условие означает геометрически, предположим, что f (0) = 0, и рассмотрим приведенную выше оценку, когда y = 0. Тогда это означает, что угол между вектором x и его изображением f ( x ) остается между 0 и arccos δ < π. /2.

Эти карты квазисимметричны, хотя представляют собой гораздо более узкий подкласс квазисимметричных отображений. Например, в то время как общее квазисимметричное отображение в комплексной плоскости может отображать действительную линию в набор размерности Хаусдорфа, строго большей единицы, δ -монотонное всегда будет отображать действительную линию в повернутый график липшицевой функции L :ℝ → ℝ.

Удвоение мер

Настоящая линия

Квазисимметричные гомеоморфизмы вещественной прямой самой себе можно охарактеризовать через их производные. Возрастающий гомеоморфизм f :ℝ → ℝ квазисимметричен тогда и только тогда, когда существуют константа C > 0 и мера удвоения µ на ​​вещественной прямой такие, что

$f(x)=C+\int _{0}^{x}\,d\mu (t).$

Евклидово пространство

Аналогичный результат справедлив и в евклидовом пространстве. Предположим, C = 0, и мы перепишем приведенное выше уравнение для f как

$f(x)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left({\frac {x-t}{|x-t|}}+{\frac {t}{|t|}}\right)d\mu (t).$

Записав это таким образом, мы можем попытаться определить карту, используя тот же интеграл, но вместо этого интегрировать (то, что теперь является подынтегральным выражением с векторным значением) по ℝ ^н : если µ — мера удвоения на ℝ ^н и

$\int _{|x|>1}{\frac {1}{|x|}}\,d\mu (x)<\infty$

тогда карта

$f(x)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left({\frac {x-y}{|x-y|}}+{\frac {y}{|y|}}\right)\,d\mu (y)$

квазисимметричен (фактически, он δ -монотонен для некоторого δ, зависящего от меры µ ).

Квазисимметрия и квазиконформность в евклидовом пространстве

Позволять $\Omega$ и $\Omega '$ быть открытыми подмножествами ℝ ^н . Если f : Ω → Ω´ η -квазисимметрична, то она также K - квазиконформна , где $K>0$ является константой, зависящей от $\eta$.

Обратно, если f : Ω → Ω´ K -квазиконформно и $B(x,2r)$ содержится в $\Omega$, затем $f$ является η -квазисимметричным на $B(x,2r)$, где $\eta$ зависит только от $K$.

Карты Квази-Мебиуса

Связанным, но более слабым условием является понятие карт квазиМебиуса, где вместо отношения рассматривается только двойное отношение:

Определение

Пусть ( X , d _X ) и ( Y , d _Y ) — два метрических пространства и пусть η : [0, ∞) → [0, ∞) — возрастающая функция. η x -квазимёбиусов гомеоморфизм f : X → Y — это гомеоморфизм, для которого для каждой четверки , y , z , t различных точек в X имеем

${\frac {d_{Y}(f(x),f(z))d_{Y}(f(y),f(t))}{d_{Y}(f(x),f(y))d_{Y}(f(z),f(t))}}\leq \eta \left({\frac {d_{X}(x,z)d_{X}(y,t)}{d_{X}(x,y)d_{X}(z,t)}}\right).$

См. также

• Расширение Дуади – Эрла