Удвоение пространства

В евклидовой плоскости семь дисков радиуса r /2 могут покрыть любой диск радиуса r , поэтому плоскость представляет собой пространство удвоения с константой удвоения 7 и размером удвоения log ₂ 7.

В математике метрическое пространство X с метрикой d называется удвояющимся , если существует некоторая константа удвоения M > 0 такая, что для любого x ∈ X и r > 0 можно покрыть шар B ( x , r ) = { у | d ( x , y ) < r } с объединением не более M шаров радиуса ⁠ r / 2 ⁠ . Логарифм M основанию 2 называется удвоенной размерностью X . по Евклидовы пространства $\mathbb {R} ^{d}$ снабженные обычной евклидовой метрикой, являются примерами пространств удвоения, в которых константа удвоения M зависит от размерности d . Например, в одном измерении M = 3 ; и в двух измерениях M = 7 . В общем, евклидово пространство $\mathbb {R} ^{d}$ имеет удвоенную размерность $\Theta (d)$.

Теорема вложения Ассуада

Важным вопросом геометрии метрического пространства является характеристика тех метрических пространств, которые могут быть вложены в некоторое евклидово пространство с помощью билипшицевой функции. Это означает, что по существу можно думать о метрическом пространстве как о подмножестве евклидова пространства. Не все метрические пространства могут быть вложены в евклидово пространство. С другой стороны, удвоение метрических пространств, казалось бы, имеет больше шансов, поскольку условие удвоения в некотором смысле говорит о том, что метрическое пространство не является бесконечномерным. Однако в целом это все еще не так. Группа Гейзенберга с ее метрикой Карно-Каратеодори является примером удвоенного метрического пространства, которое не может быть вложено ни в одно евклидово пространство.

Теорема Ассуада утверждает, что для M -удвоения метрического пространства X , если мы зададим ему метрику d ( x , y ) ^е для некоторого 0 < ε < 1 существует L -билипшицево отображение $f:X\rightarrow \mathbb {R} ^{d}$, где d и L зависят от M и ε .

Удвоение мер

Определение

Нетривиальная мера в метрическом пространстве X называется удвояющейся, если мера любого шара конечна и приблизительно равна мере его двойника, или, точнее, если существует константа C > 0 такая, что

$0<\mu (B(x,2r))\leq C\mu (B(x,r))<\infty \,$

для всех x в X и r > 0. В этом случае мы говорим, что µ является C-удвоением . Фактически можно доказать, что с необходимостью C  $\geq$ 2.

Пространство с метрической мерой, поддерживающее удвоительную меру, обязательно является метрическим пространством удвоения, где константа удвоения зависит от константы C . И наоборот, каждое полное метрическое пространство удвоения поддерживает меру удвоения.

Примеры

Простым примером удвояющейся меры является мера Лебега в евклидовом пространстве. Однако в евклидовом пространстве могут существовать меры удвоения, сингулярные относительно меры Лебега. Одним из примеров реальной линии является слабый предел следующей последовательности мер:

$d\mu _{n}=\prod _{i=1}^{n}(1+a\cos(3^{i}2\pi x))\,dx,\;\;\;|a|<1.$

можно построить Другую сингулярную меру удвоения µ на ​​интервале [0, 1] следующим образом: для каждого k ≥ 0 разбить единичный интервал [0,1] на 3 ^к интервалы длиной 3 ^{- к} . Пусть ∆ — совокупность всех таких интервалов в [0,1], полученных для каждого k (это триадические интервалы ), и для каждого такого интервала I пусть m ( I ) обозначает его «среднюю треть» интервала. Зафиксируем 0 < δ < 1 и пусть µ — такая мера, что µ ([0, 1]) = 1 и для каждого триадического интервала I , µ ( m ( I )) = δµ ( I ). Тогда это дает меру удвоения на [0, 1], сингулярную по отношению к мере Лебега.

Приложения

Определение удвоенной меры может показаться произвольным или представлять чисто геометрический интерес. Однако многие результаты классического гармонического анализа и вычислительной геометрии распространяются на метрические пространства с удвоением меры.

См. также

• Размер шоссе