Сингулярная мера

В математике две положительные (или знаковые , или комплексные ) меры. $\mu$ и $\nu$ определенный на измеримом пространстве $(\Omega ,\Sigma )$ называются сингулярными, если существуют два непересекающихся измеримых множества $A,B\in \Sigma$ чей союз ​ $\Omega$ такой, что $\mu$ равен нулю на всех измеримых подмножествах $B$ пока $\nu$ равен нулю на всех измеримых подмножествах $A.$ Это обозначается $\mu \perp \nu .$

Усовершенствованная форма теоремы Лебега о разложении разлагает сингулярную меру на сингулярную непрерывную меру и дискретную меру . Примеры см. ниже.

Примеры на R ^н

В частном случае мера, определенная в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ называется сингулярной , если она сингулярна относительно меры Лебега на этом пространстве. Например, дельта-функция Дирака является сингулярной мерой.

Пример. мера Дискретная .

Ступенчатая функция Хевисайда на действительной прямой , $$H(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geq 0;\end{cases}}$$ имеет дельта-распределение Дирака $\delta _{0}$ как его распределительная производная . Это мера на реальной линии, « точечная масса » в $0.$ Однако мера Дирака $\delta _{0}$ не является абсолютно непрерывным относительно меры Лебега $\lambda ,$ и нет $\lambda$ абсолютно непрерывен по отношению к $\delta _{0}:$ $\lambda (\{0\})=0$ но $\delta _{0}(\{0\})=1;$ если $U$ — любое непустое открытое множество, не содержащее 0, то $\lambda (U)>0$ но $\delta _{0}(U)=0.$

Пример. Особая непрерывная мера.

Распределение Кантора имеет кумулятивную функцию распределения , которая непрерывна, но не абсолютно непрерывна , и действительно, ее абсолютно непрерывная часть равна нулю: она сингулярно непрерывна.

Пример. Сингулярная непрерывная мера на $\mathbb {R} ^{2}.$

Верхняя и нижняя границы Фреше–Хефдинга представляют собой сингулярные распределения в двух измерениях.

См. также

• Абсолютная непрерывность (теория меры) – форма непрерывности функций. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Теорема Лебега о разложении
• Единичное распространение - распределение сосредоточено на наборе нулевых показателей. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

• Эрик Вайсштейн, Краткая математическая энциклопедия CRC , CRC Press, 2002. ISBN   1-58488-347-2 .
• Дж. Тейлор, Введение в меру и вероятность , Springer, 1996. ISBN   0-387-94830-9 .

Эта статья включает в себя материал из Single Measure на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .