Квазисимметричная функция

В алгебре и, в частности, в алгебраической комбинаторике квазисимметричная функция — это любой элемент кольца квазисимметричных функций , которое, в свою очередь, является подкольцом кольца формальных степенных рядов со счетным числом переменных. Это кольцо обобщает кольцо симметрических функций . Это кольцо можно реализовать как конкретный предел колец квазисимметричных многочленов от n переменных, когда n стремится к бесконечности. Это кольцо служит универсальной структурой, в которой отношения между квазисимметричными полиномами могут быть выражены способом, не зависящим от числа n переменных (но его элементы не являются ни полиномами, ни функциями).

Определения

Кольцо квазисимметричных функций , обозначаемое QSym, может быть определено над любым коммутативным кольцом R, таким как целые числа . Квазисимметричный функции представляют собой степенные ряды ограниченной степени по переменным $x_{1},x_{2},x_{3},\dots$ с коэффициентами из R , которые инвариантны к сдвигу в том смысле, что коэффициент монома $x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{k}^{\alpha _{k}}$ равен коэффициенту при мономе $x_{i_{1}}^{\alpha _{1}}x_{i_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots x_{i_{k}}^{\alpha _{k}}$ для любой строго возрастающей последовательности натуральных чисел $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}$ индексирование переменных и любой положительной целочисленной последовательности $(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{k})$ экспонентов. ^[1]Большая часть изучения квазисимметричных функций основана на изучении симметричных функций .

Квазисимметричная функция от конечного числа переменных — это квазисимметричный полином .Как симметричные, так и квазисимметричные полиномы можно охарактеризовать в терминах действий симметрической группы. $S_{n}$ на кольце полиномов в $n$ переменные $x_{1},\dots ,x_{n}$ . Одно из таких действий $S_{n}$ переставляет переменные,изменение полинома $p(x_{1},\dots ,x_{n})$ путем итеративной замены пар $(x_{i},x_{i+1})$ переменных, имеющих последовательные индексы.Эти полиномы не изменяются при всех таких заменах.образуют подкольцо симметричных многочленов.Второе действие $S_{n}$ условно переставляет переменные, изменение полинома $p(x_{1},\ldots ,x_{n})$ путем обмена парами $(x_{i},x_{i+1})$ переменных за исключением мономов, содержащих обе переменные. ^[2]^[3]Эти полиномы, не измененные всеми такими условными заменами, образуютподкольцо квазисимметричных многочленов. Одна квазисимметричная функция от четырех переменных $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ полином

x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+x_{1}^{2}x_{2}x_{4}+x_{1}^{2}x_{3}x_{4}+x_{2}^{2}x_{3}x_{4}.\,

Простейшая симметричная функция, содержащая эти мономы, есть

{\begin{aligned}x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+x_{1}^{2}x_{2}x_{4}+x_{1}^{2}x_{3}x_{4}+x_{2}^{2}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{2}^{2}x_{3}+x_{1}x_{2}^{2}x_{4}+x_{1}x_{3}^{2}x_{4}+x_{2}x_{3}^{2}x_{4}\\{}+x_{1}x_{2}x_{3}^{2}+x_{1}x_{2}x_{4}^{2}+x_{1}x_{3}x_{4}^{2}+x_{2}x_{3}x_{4}^{2}.\,\end{aligned}}

Важные базы

QSym — градуированная R - алгебра , распадающаяся как

\operatorname {QSym} =\bigoplus _{n\geq 0}\operatorname {QSym} _{n},\,

где $\operatorname {QSym} _{n}$ это $R$ - охват всех квазисимметричных функций, однородных степени $n$ . Две натуральные основы для $\operatorname {QSym} _{n}$ являются мономиальным базисом $\{M_{\alpha }\}$ и фундаментальная основа $\{F_{\alpha }\}$ индексируется по составу $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{k})$ из $n$ , обозначенный $\alpha \vDash n$ . Мономиальный базис состоит из $M_{0}=1$ и все формальные степенные ряды

M_{\alpha }=\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}}x_{i_{1}}^{\alpha _{1}}x_{i_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots x_{i_{k}}^{\alpha _{k}}.\,

Фундаментальная основа состоит $F_{0}=1$ и все формальные степенные ряды

F_{\alpha }=\sum _{\alpha \succeq \beta }M_{\beta },\,

где $\alpha \succeq \beta$ означает, что мы можем получить $\alpha$ путем сложения соседних частей $\beta$ , например, (3,2,4,2) $\succeq$ (3,1,1,1,2,1,2). Таким образом, когда кольцо $R$ это кольцо рациональных чисел , есть

\operatorname {QSym} _{n}=\operatorname {span} _{\mathbb {Q} }\{M_{\alpha }\mid \alpha \vDash n\}=\operatorname {span} _{\mathbb {Q} }\{F_{\alpha }\mid \alpha \vDash n\}.\,

Тогда можно определить алгебру симметрических функций $\Lambda =\Lambda _{0}\oplus \Lambda _{1}\oplus \cdots$ как подалгебра QSym, натянутая на мономиальные симметрические функции $m_{0}=1$ и все формальные степенные ряды $m_{\lambda }=\sum M_{\alpha },$ где сумма по всем композициям $\alpha$ которые преобразуются в целочисленный раздел $\lambda$ . Более того, у нас есть $\Lambda _{n}=\Lambda \cap \operatorname {QSym} _{n}$ . Например, $F_{(1,2)}=M_{(1,2)}+M_{(1,1,1)}$ и $m_{(2,1)}=M_{(2,1)}+M_{(1,2)}.$

Другие важные основы квазисимметричных функций включают базис квазисимметричных функций Шура, ^[4] суммы квазисимметричных степеней «типа I» и «типа II», ^[5] и основы, связанные с перечислением в матроидах. ^[6]^[7]

Приложения

Квазисимметричные функции применяются в перечислительной комбинаторике, теории симметричных функций, теории представлений и теории чисел. Применениеквазисимметричные функции включают перебор P-разбиений, ^[8]^[9]перестановки, ^[10]^[11]^[12]^[13] картины, ^[14] цепочки посетов, ^[14]^[15] приведенные разложения в конечных группах Кокстера (через симметричные функции Стэнли ), ^[14] и функции парковки. ^[16] В теории симметричных функций и теории представлений приложения включают изучение полиномов Шуберта , ^[17]^[18] полиномы Макдональда, ^[19]хедж-алгебры, ^[20] и полиномы Каждана–Люстига. ^[21] Часто квазисимметричные функции обеспечивают мощный мост между комбинаторными структурами и симметричными функциями.

Родственные алгебры

Как градуированная алгебра Хопфа двойственным кольцу квазисимметричных функций является кольцо некоммутативных симметрических функций. Каждая симметрическая функция также является квазисимметричной функцией, и, следовательно, кольцо симметрических функций является подалгеброй кольца квазисимметричных функций.

Кольцо квазисимметричных функций является терминальным объектом в категории градуированных алгебр Хопфа с одним характером. ^[22]Следовательно, любая такая алгебра Хопфа имеет морфизм на кольцо квазисимметрических функций.

Одним из примеров этого является пиковая алгебра . ^[23]

Другие родственные алгебры

Алгебра Мальвенуто –Ройтенауэра ^[24] — алгебра Хопфа, основанная на перестановках, которая связывает кольца симметричных функций, квазисимметричных функций и некоммутативных симметричных функций (обозначаемых Sym, QSym и NSym соответственно), как показано на следующей коммутативной диаграмме. Упомянутая выше двойственность между QSym и NSym отражена на главной диагонали этой диаграммы.

Многие родственные алгебры Хопфа были построены из моноидов Хопфа в категории видов Агиаром и Маджаханом. ^[25]

Можно также построить кольцо квазисимметричных функций от некоммутирующих переменных. ^[3]^[26]

Ссылки

^ Стэнли, Ричард П. Перечислительная комбинаторика , Vol. 2, Издательство Кембриджского университета, 1999. ISBN 0-521-56069-1 (в твердом переплете) ISBN 0-521-78987-7 (мягкая обложка).
^ Хиверт, Флоран (2000), «Алгебры Гекке, разностные операторы и квазисимметричные функции», Успехи в математике , 155 (2): 181–238, doi : 10.1006/aima.1999.1901
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ивер, Флоран, докторская диссертация, Марн-ла-Валле.
^ Хаглунд, Дж.; Луото, К.; Мейсон, С.; ван Виллигенбург, С. (2011), «Квазисимметричные функции Шура», Журнал комбинаторной теории , серия A, 118 (2): 463–490, arXiv : 0810.2489 , doi : 10.1016/j.jcta.2009.11.002
^ Баллантайн, Кристина; Дочь, Задж; Хикс, Анджела; Мейсон, Сара; Низе, Элизабет (2020), «О квазисимметричных степенных суммах», Журнал комбинаторной теории , серия A, 175 : 105273, arXiv : 1710.11613 , doi : 10.1016/j.jcta.2020.105273 , S2CID 51775423
^ Луото, К. (2008), «Матроидный базис для квазисимметричных функций», Journal of Combinatorial Theory , Series A, 115 (5): 777–798, arXiv : 0704.0836 , Bibcode : 2007arXiv0704.0836L , doi : 10.1016 /j.jcta.2007.10.003
^ Биллера, Л .; Цзя, Н.; Райнер, В. (2009), «Квазисимметричная функция для матроидов», European Journal of Combinatorics , 30 (8): 1727–1757, arXiv : math/0606646 , Bibcode : 2006math......6646B , doi : 10.1016 /j.ejc.2008.12.007
^ Стэнли, Ричард П. Упорядоченные структуры и перегородки, Мемуары Американского математического общества, № 119, Американское математическое общество, 1972.
^ Гессель, Ира. Многодольные P-разбиения и скалярные произведения косых функций Шура, Комбинаторика и алгебра (Боулдер, Колорадо, 1983), 289–317, Contemp. Матем., 34 года, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1984.
^ Гессель, Ира ; Ройтенауэр, Кристоф (1993), «Подсчет перестановок с заданной структурой цикла и набором спуска», Журнал комбинаторной теории , серия A, 64 (2): 189–215, doi : 10.1016/0097-3165(93)90095-P
^ Шарешян, Джон; Вакс, Мишель Л. (2007), " $q$ -Эйлеровы полиномы: число превышения и главный индекс", Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. , 13 (4): 33–45, arXiv : math/0608274 , doi : 10.1090/S1079-6762-07-00172 -2 , S2CID 15394306
^ Шарешян, Джон; Вакс, Мишель Л. (2010), «Эйлеровы квазисимметричные функции», Advances in Mathematics , 225 (6): 2921–2966, arXiv : 0812.0764 , doi : 10.1016/j.aim.2010.05.009
^ Хаятт, Мэтью (2012), «Эйлеровы квазисимметричные функции для группы Кокстера типа B и других групп сплетенных произведений», Advances in Applied Mathematics , 48 (3): 465–505, arXiv : 1007.0459 , Bibcode : 2010arXiv1007.0459H , doi : 10.1016/j.aam.2011.11.005 , S2CID 119118644
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Стэнли, Ричард П. (1984), «О количестве приведенных разложений элементов групп Кокстера», European Journal of Combinatorics , 5 (4): 359–372, doi : 10.1016/s0195-6698(84)80039-6
^ Эренборг, Ричард (1996), «О частично упорядоченных множествах и алгебрах Хопфа», Успехи в математике , 119 (1): 1–25, doi : 10.1006/aima.1996.0026
^ Хаглунд, Джеймс; q t , - Числа Каталана и пространство диагональных гармоник.Серия университетских лекций, 41. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008. viii+167 стр. ISBN 978-0-8218-4411-3 ; 0-8218-4411-3
^ Билли, Сара С.; Йокуш, Уильям; Стэнли, Ричард П. (1993), « Некоторые комбинаторные свойства полиномов Шуберта » (PDF) , Журнал алгебраической комбинаторики , 2 (4): 345–374, doi : 10.1023/A:1022419800503
^ Фомин, Сергей ; Стэнли, Ричард П. (1994), «Полиномы Шуберта и ниль-алгебра Кокстера», Advances in Mathematics , 103 (2): 196–207, doi : 10.1006/aima.1994.1009
^ Ассаф, Сами (2010), Графы двойной эквивалентности I: комбинаторное доказательство LLT и положительности Макдональда , arXiv : 1005.3759 , Bibcode : 2010arXiv1005.3759A
^ Дюшан, Жерар; Кроб, Дэниел; Леклерк, Бернар; Тибон, Жан-Ив (1996), «Квазисимметричные функции, некоммутативные симметрические функции и алгебры Гекке». $q=0$ ", CR Acad. Sci. Paris , Sér. I Math., 322 (2): 107–112.
^ Биллера, Луис Дж .; Бренти, Франческо (2011), «Квазисимметричные функции и полиномы Каждана – Люстига», Израильский математический журнал , 184 : 317–348, arXiv : 0710.3965 , doi : 10.1007/s11856-011-0070-0
^ Агияр, Марсело; Бержерон, Нантель; Соттиле, Франк (2006), «Комбинаторные алгебры Хопфа и обобщенные отношения Дена – Соммервилля», Compositio Mathematica , 142 (1): 1–30, arXiv : math/0310016 , Bibcode : 2003math.....10016A , doi : 10.1112 /S0010437X0500165X , S2CID 2635356
^ Стембридж, Джон Р. (1997), «Обогащенные P-разделы», Пер. амер. Математика. Соц. , 349 (2): 763–788, номер документа : 10.1090/S0002-9947-97-01804-7.
^ Мальвенуто, Клауда; Ройтенауэр, Кристоф (1995), «Дуальность между квазисимметричными функциями и алгеброй спуска Соломона», Journal of Algebra , 177 (3): 967–982, doi : 10.1006/jabr.1995.1336
^ Агиар, Марсело; Махаджан, «Моноидальные функторы Свапнила, виды и алгебры Хопфа» Серия монографий CRM , вып. 29. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2010.
^ Бержерон, Нантель; Заброцки, Майк (2009), «Алгебры Хопфа симметричных функций и квазисимметричных функций в некоммутативных переменных свободны и сосвободны», Журнал алгебры и ее приложений , 8 (4): 581–600, arXiv : math/0509265 , doi : 10.1142/S0219498809003485 , S2CID 18601994

Внешние ссылки

Семинар БИРС по квазисимметричным функциям

[EC2-1] Стэнли, Ричард П. Перечислительная комбинаторика , Vol. 2, Издательство Кембриджского университета, 1999. ISBN 0-521-56069-1 (в твердом переплете) ISBN 0-521-78987-7 (мягкая обложка).

[Hiv-2] Хиверт, Флоран (2000), «Алгебры Гекке, разностные операторы и квазисимметричные функции», Успехи в математике , 155 (2): 181–238, doi : 10.1006/aima.1999.1901

[Hiver-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ивер, Флоран, докторская диссертация, Марн-ла-Валле.

[HLMvW1-4] Хаглунд, Дж.; Луото, К.; Мейсон, С.; ван Виллигенбург, С. (2011), «Квазисимметричные функции Шура», Журнал комбинаторной теории , серия A, 118 (2): 463–490, arXiv : 0810.2489 , doi : 10.1016/j.jcta.2009.11.002

[BDHMN-5] Баллантайн, Кристина; Дочь, Задж; Хикс, Анджела; Мейсон, Сара; Низе, Элизабет (2020), «О квазисимметричных степенных суммах», Журнал комбинаторной теории , серия A, 175 : 105273, arXiv : 1710.11613 , doi : 10.1016/j.jcta.2020.105273 , S2CID 51775423

[Luoto-6] Луото, К. (2008), «Матроидный базис для квазисимметричных функций», Journal of Combinatorial Theory , Series A, 115 (5): 777–798, arXiv : 0704.0836 , Bibcode : 2007arXiv0704.0836L , doi : 10.1016 /j.jcta.2007.10.003

[BJR-7] Биллера, Л .; Цзя, Н.; Райнер, В. (2009), «Квазисимметричная функция для матроидов», European Journal of Combinatorics , 30 (8): 1727–1757, arXiv : math/0606646 , Bibcode : 2006math......6646B , doi : 10.1016 /j.ejc.2008.12.007

[StanThesis-8] Стэнли, Ричард П. Упорядоченные структуры и перегородки, Мемуары Американского математического общества, № 119, Американское математическое общество, 1972.

[Ppart-9] Гессель, Ира. Многодольные P-разбиения и скалярные произведения косых функций Шура, Комбинаторика и алгебра (Боулдер, Колорадо, 1983), 289–317, Contemp. Матем., 34 года, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1984.

[GesselReutenauer-10] Гессель, Ира ; Ройтенауэр, Кристоф (1993), «Подсчет перестановок с заданной структурой цикла и набором спуска», Журнал комбинаторной теории , серия A, 64 (2): 189–215, doi : 10.1016/0097-3165(93)90095-P

[Shareshian-11] Шарешян, Джон; Вакс, Мишель Л. (2007), " $q$ -Эйлеровы полиномы: число превышения и главный индекс", Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. , 13 (4): 33–45, arXiv : math/0608274 , doi : 10.1090/S1079-6762-07-00172 -2 , S2CID 15394306

[Shareshian2-12] Шарешян, Джон; Вакс, Мишель Л. (2010), «Эйлеровы квазисимметричные функции», Advances in Mathematics , 225 (6): 2921–2966, arXiv : 0812.0764 , doi : 10.1016/j.aim.2010.05.009

[Hyatt-13] Хаятт, Мэтью (2012), «Эйлеровы квазисимметричные функции для группы Кокстера типа B и других групп сплетенных произведений», Advances in Applied Mathematics , 48 (3): 465–505, arXiv : 1007.0459 , Bibcode : 2010arXiv1007.0459H , doi : 10.1016/j.aam.2011.11.005 , S2CID 119118644

[StanCox-14] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Стэнли, Ричард П. (1984), «О количестве приведенных разложений элементов групп Кокстера», European Journal of Combinatorics , 5 (4): 359–372, doi : 10.1016/s0195-6698(84)80039-6

[Ehrenborg-15] Эренборг, Ричард (1996), «О частично упорядоченных множествах и алгебрах Хопфа», Успехи в математике , 119 (1): 1–25, doi : 10.1006/aima.1996.0026

[HagBook-16] Хаглунд, Джеймс; q t , - Числа Каталана и пространство диагональных гармоник.Серия университетских лекций, 41. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008. viii+167 стр. ISBN 978-0-8218-4411-3 ; 0-8218-4411-3

[Billey-17] Билли, Сара С.; Йокуш, Уильям; Стэнли, Ричард П. (1993), « Некоторые комбинаторные свойства полиномов Шуберта » (PDF) , Журнал алгебраической комбинаторики , 2 (4): 345–374, doi : 10.1023/A:1022419800503

[Fomin-18] Фомин, Сергей ; Стэнли, Ричард П. (1994), «Полиномы Шуберта и ниль-алгебра Кокстера», Advances in Mathematics , 103 (2): 196–207, doi : 10.1006/aima.1994.1009

[Assaf-19] Ассаф, Сами (2010), Графы двойной эквивалентности I: комбинаторное доказательство LLT и положительности Макдональда , arXiv : 1005.3759 , Bibcode : 2010arXiv1005.3759A

[Duchamp-20] Дюшан, Жерар; Кроб, Дэниел; Леклерк, Бернар; Тибон, Жан-Ив (1996), «Квазисимметричные функции, некоммутативные симметрические функции и алгебры Гекке». $q=0$ ", CR Acad. Sci. Paris , Sér. I Math., 322 (2): 107–112.

[Billera-21] Биллера, Луис Дж .; Бренти, Франческо (2011), «Квазисимметричные функции и полиномы Каждана – Люстига», Израильский математический журнал , 184 : 317–348, arXiv : 0710.3965 , doi : 10.1007/s11856-011-0070-0

[ABS-22] Агияр, Марсело; Бержерон, Нантель; Соттиле, Франк (2006), «Комбинаторные алгебры Хопфа и обобщенные отношения Дена – Соммервилля», Compositio Mathematica , 142 (1): 1–30, arXiv : math/0310016 , Bibcode : 2003math.....10016A , doi : 10.1112 /S0010437X0500165X , S2CID 2635356

[Stem-23] Стембридж, Джон Р. (1997), «Обогащенные P-разделы», Пер. амер. Математика. Соц. , 349 (2): 763–788, номер документа : 10.1090/S0002-9947-97-01804-7.

[MR-24] Мальвенуто, Клауда; Ройтенауэр, Кристоф (1995), «Дуальность между квазисимметричными функциями и алгеброй спуска Соломона», Journal of Algebra , 177 (3): 967–982, doi : 10.1006/jabr.1995.1336

[25] Агиар, Марсело; Махаджан, «Моноидальные функторы Свапнила, виды и алгебры Хопфа» Серия монографий CRM , вып. 29. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2010.

[BZ-26] Бержерон, Нантель; Заброцки, Майк (2009), «Алгебры Хопфа симметричных функций и квазисимметричных функций в некоммутативных переменных свободны и сосвободны», Журнал алгебры и ее приложений , 8 (4): 581–600, arXiv : math/0509265 , doi : 10.1142/S0219498809003485 , S2CID 18601994

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]