Некоммутативная симметричная функция

В математике некоммутативные симметрические функции образуют алгебру Хопфа NSymm, аналогичную алгебре Хопфа симметричных функций . Алгебра Хопфа NSymm была введена Израилем М. Гельфандом , Даниэлем Кробом, Аленом Ласку , Бернаром Леклерком, Владимиром Ретахом и Жан-Ивом Тибоном. Это некоммутативная, но кокоммутативная градуированная алгебра Хопфа. Она имеет алгебру Хопфа симметричных функций в качестве фактора, является подалгеброй алгебры Хопфа перестановок и является градуированной двойственной алгеброй Хопфа квазисимметричных функций . Над рациональными числами она как алгебра Хопфа изоморфна универсальной обертывающей алгебре свободной алгебры Ли от счетного числа переменных.

Определение

Базовой алгеброй алгебры Хопфа некоммутативных симметричных функций является свободное кольцо Z ⟨ Z ₁ , Z ₂ ,...⟩, порожденное некоммутирующими переменными Z ₁ , Z ₂ , ...

Копроизведение переводит Z _n в Σ Z _i ⊗ Z _{n – i} , где Z ₀ = 1 — тождество.

Единица переводит Z _i в 0 для i > 0 и переводит Z ₀ = 1 в 1.

Связанные понятия

Мишель Хазевинкель показал что вывод Хассе – Шмидта

$D:A\to A[[t]]$

на кольце A эквивалентно действию NSymm на A : часть $D_{i}:A\to A$ D, который выбирает коэффициент $t^{i}$, есть действие неопределенного Z _i .

Связь со свободной алгеброй Ли

Элемент Σ Z _n t ^н является групповым элементом алгебры Хопфа формальных степенных рядов над NSymm, поэтому над рациональными числами его логарифм примитивен. Коэффициенты его логарифма порождают свободную алгебру Ли на счетном множестве образующих над рациональными числами. Над рациональными числами это отождествляет алгебру Хопфа NSYmm с универсальной обертывающей алгеброй свободной алгебры Ли.