Алгебра перестановок Хопфа

В алгебре алгебра подстановок Мальвенуто–Пуарье–Ройтенауэра или алгебра Хопфа MPR представляет собой алгебру Хопфа с базой всех элементов всех конечных симметричных групп Sn _Хопфа и является некоммутативным аналогом алгебры Хопфа симметричных функций. . Она одновременно свободна как алгебра и градуированно- косвободна как градуированная коалгебра , поэтому в некотором смысле она, насколько это возможно, далека от того, чтобы быть коммутативной или кокоммутативной. Он был введен Мальвенуто и Ройтенауэром (1995) и изучен Пуарье и Ройтенауэром (1995) .

Определение

Основная свободная абелева группа состоящий из несвязного объединения симметрических групп Sn _{алгебры MPR имеет базис ,} для n = 0, 1, 2, ...., которые можно рассматривать как перестановки.

Тождество 1 — это пустая перестановка, а единица переводит пустую перестановку в 1, а остальные — в 0.

Произведение двух перестановок ( a ₁ ,..., ) _am и ( b ₁ ,..., b _n ) в MPR равнозаданное произведением тасования ( a ₁ ,..., a _m ) ш ( m + b ₁ ,..., m + b _n ).

Копроизведение перестановки a на m точках задается формулой Σ _{a = b * c} st( b ) ⊗ st( c ), где сумма рассчитана по m + 1 способам записи a (рассматривается как последовательность m целых чисел) как конкатенация двух последовательностей b и c , а st( b ) — это стандартизация b , где элементы последовательности b сводятся к множеству формы {1, 2, ..., n } при сохранении их порядок.

Антипод имеет бесконечный порядок.

с

Алгебра перестановок Хопфа связывает кольца симметричных функций , квазисимметричных функций и некоммутативных симметричных функций (обозначаемых Sym, QSym и NSym соответственно), как показано на следующей коммутативной диаграмме. Двойственность между QSym и NSym показана на главной диагонали этой диаграммы.

Ссылки

• Хазевинкель, Мишель; Губарени, Надежда; Кириченко В.В. (2010), Алгебры, кольца и модули. Алгебры Ли и алгебры Хопфа , Математические обзоры и монографии, вып. 168, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN.  978-0-8218-5262-0 , МР   2724822 , Збл   1211.16023
• Мальвенуто, Клаудия ; Ройтенауэр, Кристоф (1995), «Двойственность между квазисимметричными функциями и алгеброй спуска Соломона», J. Algebra , 177 (3): 967–982, doi : 10.1006/jabr.1995.1336 , MR   1358493
• Пуарье, Стефан; Ройтенауэр, Кристоф (1995), «Алгебры массивов Хопфа», Ann. наук. Математика. Квебек , 19 (1): 79–90, MR   1334836