Кольцо симметричных функций

Эта статья о кольце симметричных функций в алгебраической комбинаторике. Общие свойства симметричных функций см. в разделе симметричная функция .

В алгебре и, в частности в алгебраической комбинаторике , кольцо симметричных функций является специфическим пределом колец симметричных многочленов от n неопределенных чисел, когда n стремится к бесконечности. Это кольцо служит универсальной структурой, в которой отношения между симметричными полиномами могут быть выражены способом, не зависящим от числа n неопределенных величин (но его элементы не являются ни полиномами, ни функциями). Помимо прочего, это кольцо играет важную роль в теории представлений симметрической группы .

Кольцу симметричных функций можно придать копроизведение и билинейную форму, превратив его в положительную самосопряженную градуированную алгебру Хопфа , которая является одновременно коммутативной и кокоммутативной.

Симметричные полиномы

Основная статья: Симметричный полином

Изучение симметричных функций основано на изучении симметричных многочленов. В кольце многочленов от некоторого конечного набора неопределенных многочлен называется симметричным , если он остается неизменным при любой перестановке неопределенных. Более формально, существует действие кольцевых автоморфизмов симметрической группы Sn _. на кольцо многочленов от n неопределенных, где перестановка действует на многочлен путем одновременной замены каждого из неопределенных чисел на другое в соответствии с используемой перестановкой Инварианты подкольцо этого действия образуют симметричных многочленов. Если неопределенными являются X ₁ , ..., X _n , то примерами таких симметричных полиномов являются

$X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n},\,$

$X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+\cdots +X_{n}^{3},\,$

и

$X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.\,$

Несколько более сложный пример: х ₁ ³ Х ₂ Х ₃ + Х ₁ Х ₂ ³ Х ₃ + Х X₂X₁ ³ + Х ₁ ³ Х ₂ Х ₄ + Х ₁ Х ₂ ³ Х ₄ + Х ₁ Х ₂ Х ₄ ³ + ... где суммирование включает все произведения третьей степени некоторой переменной и двух других переменных. Существует много конкретных видов симметричных полиномов, таких как элементарные симметричные полиномы , симметричные полиномы с степенной суммой , мономиальные симметричные полиномы , полные однородные симметричные полиномы и полиномы Шура .

Кольцо симметричных функций

Большинство отношений между симметричными многочленами не зависят от количества n неопределенных величин, за исключением того, что для некоторых многочленов в отношениях может потребоваться, чтобы n было достаточно большим, чтобы их можно было определить. Например, тождество Ньютона для полинома суммы третьей степени p ₃ приводит к

$p_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})=e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})^{3}-3e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})+3e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),$

где $e_{i}$ обозначают элементарные симметричные многочлены; эта формула действительна для всех натуральных чисел n , и единственная заметная зависимость от нее состоит в том, что e _k ( X ₁ ,..., X _n ) = 0 всякий раз, когда n < k . Это хотелось бы записать как тождество

$p_{3}=e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3}$

которое вообще не зависит от n , и это можно сделать в кольце симметрических функций. В этом кольце есть ненулевые элементы для _ek всех целых чисел k ≥ 1, и любой элемент кольца может быть задан полиномиальным выражением от ek _{элементов} .

Определения

Кольцо симметрических функций может быть определено над любым коммутативным кольцом R и будет обозначаться Λ _R ; основной случай R = Z. — Кольцо Λ _R на самом деле является градуированной R - алгеброй . Для этого есть две основные конструкции; первый, приведенный ниже, можно найти в (Stanley, 1999), а второй, по сути, тот же, что и в (Macdonald, 1979).

Как кольцо формальных степенных рядов

Самая простая (хотя и несколько тяжелая) конструкция начинается с кольца формальных степенных рядов. $R[[X_{1},X_{2},...]]$ над R в бесконечном ( счетном ) числе неопределенностей; элементы этого кольца степенных рядов представляют собой формальные бесконечные суммы слагаемых, каждая из которых состоит из коэффициента из R, умноженного на моном , где каждый моном является произведением конечного числа конечных степеней неопределенных чисел. Определим Λ _R как его подкольцо, состоящее из тех степенных рядов S , которые удовлетворяют

1. S инвариантен относительно любой перестановки неопределенных, и
2. степени S мономов, входящих в , ограничены.

Обратите внимание, что из-за второго условия степенные ряды используются здесь только для того, чтобы разрешить бесконечное количество членов фиксированной степени, а не для суммирования членов всех возможных степеней. Это необходимо, поскольку элемент, который содержит, например, терм X _1, должен также содержать терм X _i для каждого i > 1, чтобы быть симметричным. В отличие от всего кольца степенных рядов, подкольцо Λ _R градуировано по полной степени мономов: в силу условия 2 каждый элемент Λ _R представляет собой конечную сумму однородных элементов Λ _R (которые сами являются бесконечными суммами членов равных степень). Для каждого k ≥ 0 элемент e _k ∈ Λ _R определяется как формальная сумма всех произведений k различных неопределенных величин, которая, очевидно, является однородной степени k .

Как алгебраический предел

Другая конструкция Λ _R требует несколько больше времени для описания, но лучше указывает на связь с кольцами R [ X ₁ ,..., X _n ] ^{С _н} симметричных многочленов от n неопределённых. Для каждого n существует сюръективный гомоморфизм колец ρ _n из аналогичного кольца R [ X ₁ ,..., X _{n +1} ] ^{С _{н +1}} с еще одним неопределенным на R [ X ₁ ,..., X _n ] ^{С _н} , определяемый установкой последнего неопределенного числа X _{n +1} равным 0. Хотя ρ _n имеет нетривиальное ядро , ненулевые элементы этого ядра имеют степень не ниже $n+1$ (они кратны X ₁ X ₂ ... X _{n +1} ). что ограничение ρn _Xn на элементы степени не выше n является биективным линейным отображением и ρn _ek ( ek _, ( X1 _, ..., + _{означает 1} ) = ( _X1 ) , _Это .. ., X _n ) для всех k ≤ n . Обратное к этому ограничению можно единственным образом расширить до кольцевого гомоморфизма φ _n из R [ X ₁ ,..., X _n ] ^{С _н} к R [ X ₁ ,..., X _{n +1} ] ^{С _{н +1}} , как следует, например, из основной теоремы о симметричных полиномах . Поскольку образы φ _n ( e _k ( X ₁ ,..., X _n )) = ek ₊₁ ( X ₁ ,..., X _{n k} ) для = 1,..., n еще алгебраически независимы над R гомоморфизм φ _n инъективен ; и может рассматриваться как (несколько необычное) включение колец применение φ _n к многочлену равносильно добавлению всех мономов, содержащих новую неопределенную величину, полученную симметрией из уже присутствующих мономов. Тогда кольцо Λ _R является «объединением» ( прямым пределом ) всех этих колец, подчиненных этим включениям. Поскольку все φ _n совместимы с градуировкой по полной степени задействованных колец, Λ _R приобретает структуру градуированного кольца.

Эта конструкция несколько отличается от конструкции (Macdonald, 1979). конструкция использует только сюръективные морфизмы ρn _, упоминая инъективные морфизмы φn _Эта : она строит однородные компоненты Λ _R отдельно и снабжает их прямую сумму кольцевой структурой с помощью ρn _не . Также замечено, что результат можно описать как предел в категории градуированных обратный колец. Однако это описание несколько затемняет важное свойство, типичное для прямого предела инъективных морфизмов, а именно то, что каждый отдельный элемент (симметричная функция) уже точно представлен в некотором объекте, используемом в предельной конструкции, в данном случае в кольце R [ X ₁ ,... , Х _д ] ^{С _д} . достаточно взять В качестве d степень симметрической функции, так как часть степени d этого кольца изоморфно отображается в кольца с большим количеством неопределенных по φ _n для всех n ≥ d . Это означает, что для изучения связей между отдельными элементами нет принципиальной разницы между симметричными полиномами и симметричными функциями.

Определение отдельных симметричных функций

Название «симметричная функция» для элементов Λ _R является неправильным : ни в одной из конструкций элементы не являются функциями , и фактически, в отличие от симметричных многочленов, никакая функция независимых переменных не может быть связана с такими элементами (например, e ₁ будет сумма всех бесконечно многих переменных, которая не определена, если на переменные не наложены ограничения). Однако название традиционное и устоявшееся; его можно найти как в (Macdonald, 1979), где говорится (сноска на стр. 12):

Элементы Λ (в отличие от элементов Λ _n ) больше не являются полиномами: они представляют собой формальные бесконечные суммы мономов. Поэтому мы вернулись к старой терминологии симметричных функций.

(здесь Λ _n обозначает кольцо симметричных многочленов от n неопределенных), а также в (Stanley, 1999).

Чтобы определить симметричную функцию, нужно либо непосредственно указать степенной ряд, как в первой конструкции, либо дать симметричный многочлен от n неопределенных для каждого натурального числа n способом, совместимым со второй конструкцией. Выражение с неопределенным числом неопределенных значений может выполнять и то, и другое, например

$e_{2}=\sum _{i<j}X_{i}X_{j}\,$

можно принять как определение элементарной симметричной функции, если число неопределённых бесконечно, или как определение элементарного симметричного многочлена от любого конечного числа неопределённых. Симметричные многочлены для одной и той же симметричной функции должны быть согласованы с гомоморфизмами ρ _n (уменьшение числа неопределенных достигается приравниванием некоторых из них к нулю, так что коэффициенты любого монома в остальных неопределенных остаются неизменными), а их степень должна оставаться ограниченным. (Пример семейства симметричных полиномов, не удовлетворяющего обоим условиям: $\textstyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}$; семья $\textstyle \prod _{i=1}^{n}(X_{i}+1)$ не удовлетворяет только второе условие.) Любой симметричный многочлен от n неопределенных можно использовать для построения совместимого семейства симметричных многочленов, используя гомоморфизмы ρ _i для i < n для уменьшения количества неопределенных чисел и φ _i для i ≥ n для увеличения количество неопределенных (которое сводится к добавлению всех одночленов в новые неопределенные, полученные путем симметрии из уже имеющихся одночленов).

Ниже приведены фундаментальные примеры симметричных функций.

• Мономиальные симметрические функции m _α . Предположим, α = (α ₁ ,α ₂ ,...) — последовательность неотрицательных целых чисел, лишь конечное число из которых отличны от нуля. Тогда мы можем рассмотреть моном , определяемый α: X ^а = Х ₁ ^{1 _​} х ₂ ^{2 _​} х ₃ ^{3 _​} .... Тогда m _α — симметричная функция, определяемая X ^а , т.е. сумма всех мономов, полученных из X ^а по симметрии. Для формального определения определим β ~ α, что означает, что последовательность β является перестановкой последовательности α, и положим

$m_{\alpha }=\sum \nolimits _{\beta \sim \alpha }X^{\beta }.$

Эта симметричная функция соответствует мономиальному симметричному полиному m _α ( X ₁ ,..., X _n ) для любого n, достаточно большого, чтобы иметь моном X ^а . Различные мономиальные симметричные функции параметризуются целочисленными разбиениями (каждое m _α имеет уникальный представительный моном X ^л с частями λ _i в слабо убывающем порядке). Поскольку любая симметричная функция, содержащая любой из мономов некоторого m _α, должна содержать их все с одним и тем же коэффициентом, каждую симметричную функцию можно записать как R -линейную комбинацию мономиальных симметричных функций, и поэтому различные мономиальные симметричные функции образуют базис Λ _R как R - модуля .

• Элементарные симметрические функции для _ek любого натурального числа k ; имеем e _k = m _α , где $\textstyle X^{\alpha }=\prod _{i=1}^{k}X_{i}$. Как степенной ряд, это сумма всех различных произведений k различных неопределенных чисел. Эта симметричная функция соответствует элементарному симметричному многочлену e _k ( X ₁ ,..., X _n ) для любого n ≥ k .
• Симметричные функции суммы степеней p _k для любого положительного целого числа k ; , мономиальная p _k = m _{( k )} симметричная функция для монома X ₁ ^к . Эта симметричная функция соответствует симметричному многочлену суммы степеней p _k ( X ₁ ,..., X _n ) = X ₁ ^к + ... + Х _н ^к для любого n ≥ 1.
• Полные однородные симметрические функции hk _для любого натурального числа k ; h _k — сумма всех мономиальных симметричных функций α _, где α — разбиение k m . Как степенной ряд, это сумма всех мономов степени k , что и объясняет его название. Эта симметричная функция соответствует полному однородному симметричному полиному h _k ( X ₁ ,..., X _n ) для любого n ≥ k .
• Функции Шура s _λ для любого разбиения λ, что соответствует полиному Шура s _λ ( X ₁ ,..., X _n ) для любого n, достаточно большого, чтобы иметь моном X ^л .

Не существует симметричной функции суммы степеней p ₀ : хотя возможно (и в некоторых контекстах естественно) определить $\textstyle p_{0}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{0}=n$ как симметричный полином от n переменных, эти значения несовместимы с морфизмами ρ _n . «Дискриминант» $\textstyle (\prod _{i<j}(X_{i}-X_{j}))^{2}$ это еще один пример выражения, дающего симметричный полином для всех n , но не определяющего какую-либо симметричную функцию. Выражения, определяющие полиномы Шура как частное чередующихся многочленов, в некоторой степени аналогичны выражениям для дискриминанта, но полиномы s _λ ( X ₁ ,..., X _n ) оказываются совместимыми при изменении n и, следовательно, определяют симметричная функция.

Принцип связи симметричных полиномов и симметричных функций.

Для любой симметричной функции P соответствующие симметричные полиномы от n неопределенных значений для любого натурального числа n могут обозначаться P ( X ₁ ,..., X _n ). Второе определение кольца симметричных функций подразумевает следующий фундаментальный принцип:

Если P и Q — симметричные функции степени d , то имеет место тождество $P=Q$ симметричных функций тогда и только тогда, когда имеется тождество P ( X ₁ ,..., X _d ) = Q ( X ₁ ,..., X _d ) симметричных многочленов от d неопределенных. В этом случае фактически P ( X ₁ ,..., X _n ) = Q ( X ₁ ,..., X _n ) для любого числа n неопределенных величин.

Это потому, что всегда можно уменьшить количество переменных, заменяя некоторые переменные нулем, и можно увеличить количество переменных, применяя гомоморфизмы φ _n ; определение этих гомоморфизмов гарантирует, что φ _n ( P ( X ₁ ,..., X _n )) = P ( X ₁ ,..., X _{n +1} ) (и аналогично для Q ) всякий раз, когда n ≥ d . См. доказательство тождеств Ньютона для эффективного применения этого принципа.

Свойства кольца симметрических функций

Личности

Кольцо симметрических функций — удобный инструмент для записи тождеств между симметричными многочленами, не зависящими от числа неопределенных: в Λ _R такого числа нет, однако по изложенному выше принципу любое тождество в Λ _R автоматически дает тождества кольца симметрических функций. полиномы над R от любого числа неопределенных. Некоторые фундаментальные тождества

$\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}h_{k-i}=0=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}h_{i}e_{k-i}\quad {\mbox{for all }}k>0,$

который показывает симметрию между элементарными и полными однородными симметрическими функциями; эти отношения объясняются в рамках полного однородного симметричного полинома .

$ke_{k}=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}p_{i}e_{k-i}\quad {\mbox{for all }}k\geq 0,$

тождества Ньютона , которые также имеют вариант для полных однородных симметричных функций:

$kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}p_{i}h_{k-i}\quad {\mbox{for all }}k\geq 0.$

Структурные свойства Λ _R

Важные свойства Λ _R заключаются в следующем.

1. Множество мономиальных симметричных функций, параметризованных разбиениями, образует базис Λ _R как градуированного R - модуля , параметризованных разбиениями d, однородных степени d ; то же самое верно и для набора функций Шура (также параметризованных разбиениями).
2. Λ _R изоморфна > 0, причем как градуированная R -алгебра кольцу полиномов R [ Y ₁ , Y ₂ , ...] от бесконечного числа переменных, где Y _i имеет заданную степень i для всех i одним изоморфизмом является тот, который отправляет Y _i в e _i ∈ Λ _R для каждого i .
3. Существует инволютивный автоморфизм ω группы Λ _R , который меняет местами элементарные симметрические функции e _i и полную однородную симметрическую функцию h _i для всех i . Он также отправляет каждую симметричную функцию суммы степеней p _i в (-1) ^{я -1} p _i , и он переставляет функции Шура между собой, меняя местами s _λ и s _{λ ^т} где λ ^т — транспонированное разбиение λ.

Свойство 2 составляет суть основной теоремы о симметричных многочленах . Отсюда сразу вытекают и некоторые другие свойства:

• Подкольцо Λ _R, порожденное его элементами степени не выше n, изоморфно кольцу симметричных многочленов над R от n переменных;
• Ряд Гильберта–Пуанкаре Λ _R равен $\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-t^{i}}}$, производящая функция целочисленных разбиений (это также следует из свойства 1);
• Для каждого n > 0 R -модуль, образованный однородной частью Λ _R степени n по модулю его пересечения с подкольцом, порожденным его элементами степени строго меньше n , свободен от ранга 1 и (образ ) en _— генератор этого R -модуля;
• Для каждого семейства симметрических функций ( f _i ) _{i >0} , в котором f _i однородно степени i и дает генератор свободного R -модуля предыдущей точки (для всех i ), существует альтернативный изоморфизм градуированного R -алгебры из R [ Y ₁ , Y ₂ , ...], как указано выше, в Λ _, который переводит Y _i в fi _R ; другими словами, семейство ( i _> fi ) _{0 образует} набор свободных полиномиальных генераторов Λ _R .

последний пункт применим, в частности, к семейству ( hi _Этот ) _{i >0} полных однородных симметричных функций. Если R содержит поле  $\mathbb {Q}$ рациональных чисел это применимо также к семейству ( p _i ) _{i >0} симметричных функций суммы степеней. Это объясняет, почему первые n элементов каждого из этих семейств определяют наборы симметричных многочленов от n переменных, которые являются свободными полиномиальными генераторами этого кольца симметричных многочленов.

Тот факт, что полные однородные симметрические функции образуют множество свободных полиномиальных образующих Λ _R, уже показывает существование автоморфизма ω, переводящего элементарные симметрические функции в полные однородные, как указано в свойстве 3. Тот факт, что ω является инволюцией Λ _R следует из симметрии между элементарными и полными однородными симметрическими функциями, выражаемыми первым набором приведенных выше соотношений.

Кольцо симметрических функций Λ _Z является кольцом Exp целых чисел Z . Это также лямбда-кольцо в естественном виде; по сути это универсальное лямбда-кольцо в одном генераторе.

Генерирующие функции

Первое определение Λ _R как подкольца $R[[X_{1},X_{2},...]]$ позволяет производящие функции элегантно выразить нескольких последовательностей симметричных функций. В отличие от упомянутых ранее отношений, которые являются внутренними для Λ _R , эти выражения включают в себя операции, происходящие в R [[ X ₁ , X ₂ ,...; t ]], но вне его подкольца Λ _R [[ t ]], поэтому они имеют смысл только в том случае, если симметричные функции рассматриваются как формальные степенные ряды от неопределенных X _i . Мы будем писать «( X )» после симметричных функций, чтобы подчеркнуть эту интерпретацию.

Производящая функция для элементарных симметричных функций равна

$E(t)=\sum _{k\geq 0}e_{k}(X)t^{k}=\prod _{i=1}^{\infty }(1+X_{i}t).$

Аналогично для полных однородных симметрических функций

$H(t)=\sum _{k\geq 0}h_{k}(X)t^{k}=\prod _{i=1}^{\infty }\left(\sum _{k\geq 0}(X_{i}t)^{k}\right)=\prod _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-X_{i}t}}.$

Очевидный факт, что $E(-t)H(t)=1=E(t)H(-t)$ объясняет симметрию между элементарными и полными однородными симметрическими функциями. Производящая функция для симметричных функций суммы степеней может быть выражена как

$P(t)=\sum _{k>0}p_{k}(X)t^{k}=\sum _{k>0}\sum _{i=1}^{\infty }(X_{i}t)^{k}=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {X_{i}t}{1-X_{i}t}}={\frac {tE'(-t)}{E(-t)}}={\frac {tH'(t)}{H(t)}}$

((Макдональд, 1979) определяет P ( t ) как Σ _{k >0}   p _k ( X ) t ^{к -1} , и поэтому в его выражениях отсутствует множитель t по сравнению с приведенными здесь). Два последних выражения, включающие формальные производные производящих функций E ( t ) и H ( t ), подразумевают тождества Ньютона и их варианты для полных однородных симметричных функций. Эти выражения иногда записываются как

$P(t)=-t{\frac {d}{dt}}\log(E(-t))=t{\frac {d}{dt}}\log(H(t)),$

что означает то же самое, но требует, чтобы R содержало рациональные числа, так что логарифм степенного ряда с постоянным членом 1 определяется (по формуле $\textstyle \log(1-tS)=-\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}(tS)^{i}$).

Специализации

Позволять $\Lambda$ — кольцо симметрических функций и $R$ коммутативная алгебра с единичным элементом. Гомоморфизм алгебры $\varphi :\Lambda \to R,\quad f\mapsto f(\varphi )$ называется специализацией .

Пример:

• Учитывая некоторые реальные цифры $a_{1},\dots ,a_{k}$ и $f(x_{1},x_{2},\dots ,)\in \Lambda$, то замена $x_{1}=a_{1},\dots ,x_{k}=a_{k}$ и $x_{j}=0,\forall j>k$ это специализация.
• Позволять $f\in \Lambda$, затем $\operatorname {ps} (f):=f(1,q,q^{2},q^{3},\dots )$ называется основной специализацией .

См. также

• Личности Ньютона
• Квазисимметричная функция

Ссылки

• Макдональд, И.Г. Симметричные функции и полиномы Холла. Оксфордские математические монографии. The Clarendon Press, Oxford University Press, Оксфорд, 1979. viii+180 стр. ISBN   0-19-853530-9 МР 553598
• Макдональд, И.Г. Симметричные функции и полиномы Холла. Второе издание. Оксфордские математические монографии. Оксфордские научные публикации. The Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк, 1995. x+475 стр. ISBN   0-19-853489-2 МР 1354144
• Стэнли, Ричард П. Перечислительная комбинаторика , Vol. 2, Издательство Кембриджского университета, 1999. ISBN   0-521-56069-1 (в твердом переплете) ISBN   0-521-78987-7 (мягкая обложка).