Опыт алгебры
В математике алгебра exp — это алгебра Хопфа Exp( G ), построенная на основе абелевой группы G , и универсальное кольцо R такое, что существует экспоненциальное отображение из G в группу степенных рядов в R [[ t ]] с постоянным членом 1. Другими словами, функтор Exp от абелевых групп к коммутативным кольцам сопряжен с функтором от коммутативных колец к абелевым группам, переводящим кольцо в группу формальных степенных рядов с постоянным членом 1.
Определение кольца exp группы G аналогично определению группового кольца Z [ G ] группы G , которое является универсальным кольцом, таким, что существует экспоненциальный гомоморфизм группы в ее единицы. В частности, существует естественный гомоморфизм группового кольца в пополнение кольца exp. Однако в общем случае кольцо Exp может быть намного больше, чем групповое кольцо: например, групповое кольцо целых чисел представляет собой кольцо полиномов Лорана от 1 переменной, а кольцо exp является кольцом полиномов со счетным числом образующих.
Строительство
[ редактировать ]Для каждого элемента g из G введем счетное множество переменных g i для i >0. Определите exp( gt ) как формальный степенной ряд по t
Кольцо exp группы G порожденное всеми элементами gi — это коммутативное кольцо , с соотношениями
для всех g , h в G ; другими словами, коэффициенты любой степени t с обеих сторон идентифицируются.
Кольцо Exp( G ) можно превратить в коммутативную и кокоммутативную алгебру Хопфа следующим образом. Копроизведение ) определяется так , Exp( G что все элементы exp( gt ) групповые. Антипод определяется путем превращения exp(– gt ) в антипод exp( gt ). Счетчик переводит все генераторы g i в 0.
Хоффман (1983) показал, что Exp( G ) имеет структуру λ-кольца .
Примеры
[ редактировать ]- Кольцо exp бесконечной циклической группы, такой как целые числа, представляет собой кольцо полиномов от счетного числа образующих g i , где g является генератором циклической группы. Это кольцо (или алгебра Хопфа) естественно изоморфно кольцу симметрических функций (или алгебре Хопфа симметрических функций ).
- Мишель Хазевинкель, Надежда Губарени и В.В. Кириченко ( 2010 ) предполагают, что было бы интересно распространить теорию на некоммутативные G. группы
Ссылки
[ редактировать ]- Хазевинкель, Мишель; Губарени, Надежда; Кириченко В.В. (2010), Алгебры, кольца и модули. Алгебры Ли и алгебры Хопфа , Математические обзоры и монографии, вып. 168, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-5262-0 , МР 2724822 , Збл 1211.16023
- Хоффман, П. (1983), «Экспоненциальные отображения и λ-кольца», J. Pure Appl. Алгебра , 27 (2): 131–162, doi : 10.1016/0022-4049(83)90011-7 , MR 0687747.