Опыт алгебры

В математике алгебра exp — это алгебра Хопфа Exp( G ), построенная на основе абелевой группы G , и универсальное кольцо R такое, что существует экспоненциальное отображение из G в группу степенных рядов в R [[ t ]] с постоянным членом 1. Другими словами, функтор Exp от абелевых групп к коммутативным кольцам сопряжен с функтором от коммутативных колец к абелевым группам, переводящим кольцо в группу формальных степенных рядов с постоянным членом 1.

Определение кольца exp группы G аналогично определению группового кольца Z [ G ] группы G , которое является универсальным кольцом, таким, что существует экспоненциальный гомоморфизм группы в ее единицы. В частности, существует естественный гомоморфизм группового кольца в пополнение кольца exp. Однако в общем случае кольцо Exp может быть намного больше, чем групповое кольцо: например, групповое кольцо целых чисел представляет собой кольцо полиномов Лорана от 1 переменной, а кольцо exp является кольцом полиномов со счетным числом образующих.

Строительство

Для каждого элемента g из G введем счетное множество переменных g _i для i >0. Определите exp( gt ) как формальный степенной ряд по t

$\exp(gt)=1+g_{1}t+g_{2}t^{2}+g_{3}t^{3}+\cdots .$

Кольцо exp группы G порожденное всеми элементами gi _{— это коммутативное кольцо ,} с соотношениями

$\exp((g+h)t)=\exp(gt)\exp(ht)$

для всех g , h в G ; другими словами, коэффициенты любой степени t с обеих сторон идентифицируются.

Кольцо Exp( G ) можно превратить в коммутативную и кокоммутативную алгебру Хопфа следующим образом. Копроизведение ) определяется так , Exp( G что все элементы exp( gt ) групповые. Антипод определяется путем превращения exp(– gt ) в антипод exp( gt ). Счетчик переводит все генераторы g _i в 0.

Хоффман (1983) показал, что Exp( G ) имеет структуру λ-кольца .

Примеры

• Кольцо exp бесконечной циклической группы, такой как целые числа, представляет собой кольцо многочленов от счетного числа образующих g _i , где g — генератор циклической группы. Это кольцо (или алгебра Хопфа) естественно изоморфно кольцу симметрических функций (или алгебре Хопфа симметрических функций ).
• Мишель Хазевинкель, Надия Губарени и В.В. Кириченко ( 2010 ) предполагают, что было бы интересно распространить теорию на некоммутативные G. группы

Ссылки

• Хазевинкель, Мишель; Губарени, Надежда; Кириченко В.В. (2010), Алгебры, кольца и модули. Алгебры Ли и алгебры Хопфа , Математические обзоры и монографии, вып. 168, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN.  978-0-8218-5262-0 , МР   2724822 , Збл   1211.16023
• Хоффман, П. (1983), «Экспоненциальные отображения и λ-кольца», J. Pure Appl. Алгебра , 27 (2): 131–162, doi : 10.1016/0022-4049(83)90011-7 , MR   0687747.