H-производная

В математике представляет H -производная собой понятие производной при изучении абстрактных пространств Винера и исчисления Маллявена .

Определение

Позволять $i:H\to E$ — абстрактное винеровское пространство и предположим, что $F:E\to \mathbb {R}$ является дифференцируемым . Тогда производная Фреше является отображением

$\mathrm {D} F:E\to \mathrm {Lin} (E;\mathbb {R} )$;

то есть для $x\in E$, $\mathrm {D} F(x)$ является элементом $E^{*}$, пространство двойное $E$.

Поэтому определите $H$-производная $\mathrm {D} _{H}F$ в $x\in E$ к

$\mathrm {D} _{H}F(x):=\mathrm {D} F(x)\circ i:H\to \mathbb {R}$,

непрерывное на линейное отображение $H$.

Определите $H$-градиент $\nabla _{H}F:E\to H$ к

$\langle \nabla _{H}F(x),h\rangle _{H}=\left(\mathrm {D} _{H}F\right)(x)(h)=\lim _{t\to 0}{\frac {F(x+ti(h))-F(x)}{t}}$.

То есть, если $j:E^{*}\to H$ обозначает сопряженное ​ $i:H\to E$, у нас есть $\nabla _{H}F(x):=j\left(\mathrm {D} F(x)\right)$.

См. также

• Производная Маллявена