Производная Маллявена

В математике производная Маллявена представляет собой понятие производной в исчислении Маллявена . Интуитивно это понятие производной, соответствующее путям в классическом пространстве Винера , которые «обычно» не дифференцируемы в обычном смысле.

Определение

Позволять $H$ быть пространством Кэмерона–Мартина и $C_{0}$ обозначим классическое винеровское пространство :

$H:=\{f\in W^{1,2}([0,T];\mathbb {R} ^{n})\;|\;f(0)=0\}:=\{{\text{paths starting at 0 with first derivative in }}L^{2}\}$;

$C_{0}:=C_{0}([0,T];\mathbb {R} ^{n}):=\{{\text{continuous paths starting at 0}}\};$

By the Sobolev embedding theorem , $H\subset C_{0}$. Позволять

$i:H\to C_{0}$

обозначим карту включения .

Предположим, что $F:C_{0}\to \mathbb {R}$ дифференцируема по Фреше . Тогда производная Фреше является отображением

$\mathrm {D} F:C_{0}\to \mathrm {Lin} (C_{0};\mathbb {R} );$

то есть для путей $\sigma \in C_{0}$, $\mathrm {D} F(\sigma )\;$ является элементом $C_{0}^{*}$, пространство двойное $C_{0}\;$. Обозначим через $\mathrm {D} _{H}F(\sigma )\;$ непрерывная карта линейная $H\to \mathbb {R}$ определяется

$\mathrm {D} _{H}F(\sigma ):=\mathrm {D} F(\sigma )\circ i:H\to \mathbb {R} ,$

иногда известный как H -производная . Теперь определите $\nabla _{H}F:C_{0}\to H$ быть сопряженным с $\mathrm {D} _{H}F\;$ в том смысле, что

$\int _{0}^{T}\left(\partial _{t}\nabla _{H}F(\sigma )\right)\cdot \partial _{t}h:=\langle \nabla _{H}F(\sigma ),h\rangle _{H}=\left(\mathrm {D} _{H}F\right)(\sigma )(h)=\lim _{t\to 0}{\frac {F(\sigma +ti(h))-F(\sigma )}{t}}.$

Тогда производная Маллявена $\mathrm {D} _{t}$ определяется

$\left(\mathrm {D} _{t}F\right)(\sigma ):={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\left(\nabla _{H}F\right)(\sigma )\right).$

Домен ​ ​ $\mathrm {D} _{t}$ это набор $\mathbf {F}$ всех дифференцируемых по Фреше вещественных функций на $C_{0}\;$; кодомен ​ ​ $L^{2}([0,T];\mathbb {R} ^{n})$.

The Skorokhod integral $\delta \;$ определяется как сопряженная производная Маллявена:

$\delta :=\left(\mathrm {D} _{t}\right)^{*}:\operatorname {image} \left(\mathrm {D} _{t}\right)\subseteq L^{2}([0,T];\mathbb {R} ^{n})\to \mathbf {F} ^{*}=\mathrm {Lin} (\mathbf {F} ;\mathbb {R} ).$

См. также

• H-производная