Топологическая производная

Топологическая производная концептуально является производной функционала формы относительно бесконечно малых изменений в ее топологии, таких как добавление бесконечно малого отверстия или трещины. При использовании в более высоких измерениях, чем единица, термин топологический градиент также используется для обозначения члена первого порядка топологического асимптотического расширения, имеющего дело только с бесконечно малыми возмущениями в сингулярной области. Он имеет приложения для оптимизации формы , оптимизации топологии , обработки изображений и механического моделирования.

Определение

Позволять $\Omega$ быть открытой ограниченной областью $\mathbb {R} ^{d}$ , с $d\geq 2$ , который подвержен негладкому возмущению, ограниченному небольшой областью $\omega _{\varepsilon }({\tilde {x}})={\tilde {x}}+\varepsilon \omega$ размера $\varepsilon$ с ${\tilde {x}}$ произвольная точка $\Omega$ и $\omega$ фиксированный домен $\mathbb {R} ^{d}$ . Позволять $\Psi$ быть характеристической функцией, связанной с невозмущенной областью и $\Psi _{\varepsilon }$ быть характеристической функцией, связанной с перфорированной областью $\Omega _{\varepsilon }=\Omega \backslash {\overline {\omega _{\varepsilon }}}$ . Функционал заданной формы $\Phi (\Psi _{\varepsilon }({\tilde {x}}))$ связанный с топологически возмущенной областью, допускает следующее топологическое асимптотическое разложение :

\Phi (\Psi _{\varepsilon }({\tilde {x}}))=\Phi (\Psi )+f(\varepsilon )g({\tilde {x}})+o(f(\varepsilon ))

где $\Phi (\Psi )$ — функционал формы, связанный с эталонной областью, $f(\varepsilon )$ – положительная корректирующая функция первого порядка $\Phi (\Psi )$ и $o(f(\varepsilon ))$ это остаток. Функция $g({\tilde {x}})$ называется топологической производной $\Phi$ в ${\tilde {x}}$ .

Приложения

Строительная механика

Топологическую производную можно применять для решения задач оптимизации формы в строительной механике. ^[1] Топологическую производную можно рассматривать как сингулярный предел производной формы. Это обобщение этого классического инструмента оптимизации формы. ^[2] Оптимизация формы занимается поиском оптимальной формы. То есть найти $\Omega$ минимизировать некоторую скалярную целевую функцию , $J(\Omega )$ . Метод топологической производной можно сочетать с методом набора уровней . ^[3]

В 2005 году было найдено топологическое асимптотическое разложение уравнения Лапласа относительно внедрения короткой трещины внутри плоской области. Он позволяет обнаруживать и локализовать трещины для простой модельной задачи: стационарного уравнения теплопроводности с введенным тепловым потоком и температурой, измеренной на границе. ^[4] Топологическая производная была полностью разработана для широкого круга дифференциальных операторов второго порядка, а в 2011 году она была применена к задаче изгиба пластины Кирхгофа с оператором четвертого порядка. ^[5]

Обработка изображений

В области обработки изображений в 2006 году топологическая производная использовалась для обнаружения границ и восстановления изображения . Исследовано влияние изолирующей трещины в домене. Топологическая чувствительность дает информацию о краях изображения. Представленный алгоритм является неитерационным и благодаря использованию спектральных методов имеет малое время вычислений. ^[6] Только $O(Nlog(N))$ операции необходимы для обнаружения ребер, где $N$ это количество пикселей. ^[7] В последующие годы рассматривались и другие проблемы: классификация, сегментация , закрашивание и сверхразрешение . ^[7]^[8]^[9]^[10]^[11] Этот подход можно применить к полутоновым или цветным изображениям. ^[12] До 2010 года для реконструкции изображений использовалась изотропная диффузия. Топологический градиент также способен обеспечить ориентацию краев, и эту информацию можно использовать для выполнения анизотропной диффузии . ^[13]

В 2012 году представлена общая схема реконструкции изображения. $u\in L^{2}(\Omega )$ учитывая некоторые шумные наблюдения $Lu+n$ в гильбертовом пространстве $E$ где $\Omega$ это домен, где изображение $u$ определяется. ^[11] Наблюдательное пространство $E$ зависит от конкретного приложения, а также от линейного оператора наблюдения $L:L^{2}(\Omega )\rightarrow E$ . Норма на пространстве $E$ является $\|.\|_{E}$ . Идея восстановить исходное изображение состоит в том, чтобы минимизировать следующий функционал для $u\in H^{1}(\Omega )$ :

\|C^{1/2}\nabla u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}+\|Lu-v\|_{E}^{2}

где $C$ является положительно определенным тензором. Первый член уравнения гарантирует, что восстановленное изображение $u$ является регулярным, а второй член измеряет расхождение с данными.В этой общей структуре могут выполняться различные типы реконструкции изображения, такие как ^[11]

шумоподавление изображения с помощью $E=L^{2}(\Omega )$ и $Lu=u$ ,
шумоподавление и размытие изображения с помощью $E=L^{2}(\Omega )$ и $Lu=\phi \ast u$ с $\phi$ размытие в движении или размытие по Гауссу ,
рисование изображений с помощью $E=L^{2}(\Omega \backslash \omega )$ и $Lu=u|_{\Omega \backslash \omega }$ , подмножество $\omega \subset \Omega$ — это область, в которой изображение должно быть восстановлено.

В этой рамках асимптотическое разложение функции стоимости $J_{\Omega }(u_{\Omega })={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }u_{\Omega }^{2}$ в случае трещины дает ту же топологическую производную $g(x,n)=-\pi c(\nabla u_{0}.n)(\nabla p_{0}.n)-\pi (\nabla u_{0}.n)^{2}$ где $n$ является нормальным для трещины и $c$ постоянный коэффициент диффузии. Функции $u_{0}$ и $p_{0}$ являются решениями следующих прямых и сопряженных задач. ^[11]

-\nabla (c\nabla u_{0})+L^{*}Lu_{0}=L^{*}v

в

\Omega

и

\partial _{n}u_{0}=0

на

\partial \Omega

-\nabla (c\nabla p_{0})+L^{*}Lp_{0}=\Delta u_{0}

в

\Omega

и

\partial _{n}p_{0}=0

на

\partial \Omega

Благодаря топологическому градиенту можно обнаружить края и их ориентацию, а также определить подходящую точку. $C$ для процесса реконструкции изображения. ^[11]

При обработке изображений топологические производные также изучались в случае мультипликативного шума гамма-закона или при наличии пуассоновской статистики. ^[14]

Обратная задача

был применен метод топологического градиента В 2009 году для томографической реконструкции . ^[15] В этом приложении также исследовалась связь между топологической производной и множеством уровня. ^[16] В 2023 году топологическая производная использовалась для оптимизации форм для обратного рендеринга. ^[17]

Ссылки

^ Дж. Соколовски и А. Зоховски, 44 «О топологической производной в оптимизации формы» 44 , 1997 г.
↑ Топологические производные в оптимизации формы , Ян Соколовский, 28 мая 2012 г. Проверено 9 ноября 2012 г.
^ Г. Аллер, Ф. Жув, Соединение метода множества уровней и топологического градиента в структурной оптимизации , Симпозиум IUTAM по оптимизации топологического проектирования конструкций, машин и материалов, М. Бендсо и др. ред., стр. 3–12, Springer (2006).
^ С. Амштуц, И. Хорчани и М. Масмуди. Обнаружение трещин методом топологического градиента . Управление и кибернетика, 34(1):81–101, 2005.
^ С. Амштуц, А. А. Новотный, Топологический асимптотический анализ задачи об изгибе пластины Кирхгофа . ESAIM: COCV 17(3), стр. 705–721, 2011 г.
^ Ж. Дж. Белаид, М. Джауа, М. Масмуди и Л. Сиала. Восстановление изображения и обнаружение краев методом топологического асимптотического расширения . CRAS Париж, 342(5):313–318, март 2006 г.
^ Jump up to: ^а ^б Д. Ору и М. Масмуди. Обработка изображений методом топологического асимптотического анализа . ЕСАИМ: Учеб. Математические методы построения изображений и обратных задач, 26:24–44, апрель 2009 г.
^ Д. Ору, М. Масмуди и Л. Джаафар Белаид. Восстановление изображений и классификация с помощью топологического асимптотического расширения , стр. 23–42, Вариационные формулировки в механике: теория и приложения, Э. Тароко, Э. А. де Соуза Нето и А. А. Новотный (редакторы), CIMNE, Барселона, Испания, 2007.
^ Д. Ору и М. Масмуди. Алгоритм однократной зарисовки, основанный на топологическом асимптотическом анализе . Вычислительная и прикладная математика, 25(2-3):251–267, 2006.
^ Д. Ору и М. Масмуди. Обработка изображений методом топологического асимптотического разложения . Дж. Математика. Imaging Vision, 33(2):122–134, февраль 2009 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и С. Ларнье, Дж. Ференбах и М. Масмуди, Метод топологического градиента: от оптимального проектирования к обработке изображений , Миланский математический журнал, том. 80, выпуск 2, стр. 411–441, декабрь 2012 г.
^ Д. Ору, Л. Джаафар Белаид и Б. Ржаиби. Применение метода топологического градиента для восстановления цветных изображений . SIAM J. Imaging Sci., 3(2):153–175, 2010.
^ С. Ларнье и Дж. Ференбах. Обнаружение краев и восстановление изображения с помощью анизотропного топологического градиента . На Международной конференции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов (ICASSP) 2010 г., страницы 1362–1365, март 2010 г.
^ А. Дрогул, Г. Обер, Метод топологического градиента для полулинейных задач и его применение для обнаружения краев и удаления шума.
^ Д. Ору, Л. Джаафар Белаид и Б. Ржаиби. Применение метода топологического градиента к томографии . В ARIMA Proc. ТамТам'09, 2010.
^ Т. Рымарчик, П. Чоржевски, Дж. Сикора, Топологический подход к реконструкции изображений в электроимпедансной томографии , ADVCOMP 2014: Восьмая Международная конференция по передовым инженерным вычислениям и их приложениям в науке
^ И. Мехта, М. Чандракер, Р. Рамамурти, Теория топологических производных для обратной визуализации геометрии , ICCV 2023: Материалы Международной конференции IEEE / CVF по компьютерному зрению

Книги

А. А. Новотный и Дж. Соколовский, Топологические производные в оптимизации формы , Springer, 2013.

Внешние ссылки

Аллер и др. Структурная оптимизация с использованием топологической и формовой чувствительности с помощью метода набора уровней.

[1] Дж. Соколовски и А. Зоховски, 44 «О топологической производной в оптимизации формы» 44 , 1997 г.

[2] Топологические производные в оптимизации формы , Ян Соколовский, 28 мая 2012 г. Проверено 9 ноября 2012 г.

[3] Г. Аллер, Ф. Жув, Соединение метода множества уровней и топологического градиента в структурной оптимизации , Симпозиум IUTAM по оптимизации топологического проектирования конструкций, машин и материалов, М. Бендсо и др. ред., стр. 3–12, Springer (2006).

[4] С. Амштуц, И. Хорчани и М. Масмуди. Обнаружение трещин методом топологического градиента . Управление и кибернетика, 34(1):81–101, 2005.

[5] С. Амштуц, А. А. Новотный, Топологический асимптотический анализ задачи об изгибе пластины Кирхгофа . ESAIM: COCV 17(3), стр. 705–721, 2011 г.

[6] Ж. Дж. Белаид, М. Джауа, М. Масмуди и Л. Сиала. Восстановление изображения и обнаружение краев методом топологического асимптотического расширения . CRAS Париж, 342(5):313–318, март 2006 г.

[Image_processing_by_topological_asymptotic_analysis-7] Jump up to: ^а ^б Д. Ору и М. Масмуди. Обработка изображений методом топологического асимптотического анализа . ЕСАИМ: Учеб. Математические методы построения изображений и обратных задач, 26:24–44, апрель 2009 г.

[8] Д. Ору, М. Масмуди и Л. Джаафар Белаид. Восстановление изображений и классификация с помощью топологического асимптотического расширения , стр. 23–42, Вариационные формулировки в механике: теория и приложения, Э. Тароко, Э. А. де Соуза Нето и А. А. Новотный (редакторы), CIMNE, Барселона, Испания, 2007.

[9] Д. Ору и М. Масмуди. Алгоритм однократной зарисовки, основанный на топологическом асимптотическом анализе . Вычислительная и прикладная математика, 25(2-3):251–267, 2006.

[10] Д. Ору и М. Масмуди. Обработка изображений методом топологического асимптотического разложения . Дж. Математика. Imaging Vision, 33(2):122–134, февраль 2009 г.

[larnier2012-11] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и С. Ларнье, Дж. Ференбах и М. Масмуди, Метод топологического градиента: от оптимального проектирования к обработке изображений , Миланский математический журнал, том. 80, выпуск 2, стр. 411–441, декабрь 2012 г.

[12] Д. Ору, Л. Джаафар Белаид и Б. Ржаиби. Применение метода топологического градиента для восстановления цветных изображений . SIAM J. Imaging Sci., 3(2):153–175, 2010.

[13] С. Ларнье и Дж. Ференбах. Обнаружение краев и восстановление изображения с помощью анизотропного топологического градиента . На Международной конференции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов (ICASSP) 2010 г., страницы 1362–1365, март 2010 г.

[14] А. Дрогул, Г. Обер, Метод топологического градиента для полулинейных задач и его применение для обнаружения краев и удаления шума.

[15] Д. Ору, Л. Джаафар Белаид и Б. Ржаиби. Применение метода топологического градиента к томографии . В ARIMA Proc. ТамТам'09, 2010.

[16] Т. Рымарчик, П. Чоржевски, Дж. Сикора, Топологический подход к реконструкции изображений в электроимпедансной томографии , ADVCOMP 2014: Восьмая Международная конференция по передовым инженерным вычислениям и их приложениям в науке

[17] И. Мехта, М. Чандракер, Р. Рамамурти, Теория топологических производных для обратной визуализации геометрии , ICCV 2023: Материалы Международной конференции IEEE / CVF по компьютерному зрению

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]