Производная Хассе

В математике производная Хассе является обобщением производной , которое позволяет сформулировать теорему Тейлора в координатных кольцах алгебраических многообразий .

Определение

Пусть k [ X ] — кольцо полиномов над полем k . r -я производная Хассе X ^н является

$D^{(r)}X^{n}={\binom {n}{r}}X^{n-r},$

если n ≥ r и ноль в противном случае. В нулевой характеристике имеем

$D^{(r)}={\frac {1}{r!}}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} X}}\right)^{r}\ .$

Характеристики

Производная Хассе является обобщенным выводом на k [ X ] и продолжается до обобщенного вывода на функциональном поле k ( X ), удовлетворяющий аналогу правила произведения

$D^{(r)}(fg)=\sum _{i=0}^{r}D^{(i)}(f)D^{(r-i)}(g)$

и аналог цепного правила. Обратите внимание, что $D^{(r)}$ сами по себе не являются производными , но тесно связаны между собой.

Форма теоремы Тейлора справедлива для функции f, определенной через локальный параметр t на алгебраическом многообразии:

$f=\sum _{r}D^{(r)}(f)\cdot t^{r}\ .$

Ссылки

• Гольдшмидт, Дэвид М. (2003). Алгебраические функции и проективные кривые . Тексты для аспирантов по математике . Том. 215. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  0-387-95432-5 . Збл   1034.14011 .