Строгая дифференцируемость

В математике , строгая дифференцируемость — это модификация обычного понятия дифференцируемости функций которая особенно подходит для p-адического анализа . Короче говоря, определение становится более ограничительным, позволяя обеим точкам, используемым в разностном коэффициенте, «перемещаться».

Основное определение

Простейшая ситуация, в которой можно рассматривать строгую дифференцируемость, - это ситуация с действительной функцией, определенной на интервале I действительной прямой.Функция f : I → R называется строго дифференцируемой в точке a ∈ I , если

$\lim _{(x,y)\to (a,a)}{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}$

существует, где $(x,y)\to (a,a)$ следует рассматривать как предел в $\mathbb {R} ^{2}$и, конечно, требуя $x\neq y$.

Строго дифференцируемая функция, очевидно, дифференцируема, но обратное неверно, как это видно из контрпримера

$f(x)=x^{2}\sin {\tfrac {1}{x}},\ f(0)=0,~x_{n}={\tfrac {1}{(n+{\frac {1}{2}})\pi }},\ y_{n}=x_{n+1}.$

Однако существует эквивалентность строгой дифференцируемости на интервале I и принадлежности к классу дифференцируемости. $C^{1}(I)$ (т.е. непрерывно дифференцируемый).

По аналогии с производной Фреше предыдущее определение можно обобщить на случай, когда R заменяется банаховым пространством E (например, $\mathbb {R} ^{n}$) и требующего существования непрерывного линейного отображения L такого, что

$f(x)-f(y)=L(x-y)+\operatorname {o} \limits _{(x,y)\to (a,a)}(|x-y|)$

где $o(\cdot )$ определяется естественным образом на E × E .

Мотивация из p-адического анализа

В p -адической ситуации обычное определение производной не обладает некоторыми желательными свойствами. Например, функция, которая не является локально постоянной, может везде иметь нулевую производную. Примером этого является функция F : Zp _, → Zp _{формулой} , где Zp _— кольцо p-адических целых чисел определяемое

$F(x)={\begin{cases}p^{2}&{\text{if }}x\equiv p{\pmod {p^{3}}}\\p^{4}&{\text{if }}x\equiv p^{2}{\pmod {p^{5}}}\\p^{6}&{\text{if }}x\equiv p^{3}{\pmod {p^{7}}}\\\vdots &\vdots \\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

что производная F согласно обычному определению производной существует и равна нулю всюду, включая точку x = 0. То есть для любого x из Z _p Проверяют ,

$\lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}=0.$

Тем не менее F не может быть локально постоянным в начале координат.

Проблема с этой функцией заключается в том, что разностные коэффициенты

${\frac {F(y)-F(x)}{y-x}}$

не приближайтесь к нулю для x и y, близких к нулю. Например, взяв x = p ^н − п ^{2 н} и у = р ^н , у нас есть

${\frac {F(y)-F(x)}{y-x}}={\frac {p^{2n}-0}{p^{n}-(p^{n}-p^{2n})}}=1,$

которая не приближается к нулю. Определение строгой дифференцируемости позволяет избежать этой проблемы, налагая условие непосредственно на разностные коэффициенты.

Определение в p-адическом случае

Пусть K — полное расширение Q _p (например, K = C _p ), и пусть X — подмножество K без изолированных точек. Тогда функция F : X → K называется строго дифференцируемой в точке x = a, если предел

$\lim _{(x,y)\to (a,a)}{\frac {F(y)-F(x)}{y-x}}$

существует.

Ссылки

• Ален М. Роберт (2000). Курс p -адического анализа . Спрингер. ISBN  0-387-98669-3 .