Плюригармоническая функция

В математике , а именно в теории функций многих комплексных переменных , плюригармоническая функция — это вещественная функция являющаяся , локально вещественной частью голоморфной функции нескольких комплексных переменных. Иногда такую функцию называют n -гармонической функцией , где n ≥ 2 — размерность комплексной области , в которой определена функция. ^[1] Однако в современных изложениях теории функций многих комплексных переменных ^[2] предпочтительно дать эквивалентную формулировку концепции, определив плюригармоническую функцию как комплекснозначную функцию, ограничение которой на каждую комплексную линию является гармонической функцией по отношению к действительной и мнимой части параметра комплексной линии.

Формальное определение

Определение 1 . Пусть $G \subseteq C н$ — комплексная область , а $f : G \to R$ — $C 2$ (дважды непрерывно дифференцируемая ) функция. Функция $f$ называется плюригармонической , если для любой комплексной прямой

\{a+bz\mid z\in \mathbb {C} \}\subset \mathbb {C} ^{n}

формируется с использованием каждой пары комплексных кортежей $a, b \in C н$ , функция

z\mapsto f(a+bz)

является гармонической функцией на множестве

\{z\in \mathbb {C} \mid a+bz\in G\}\subset \mathbb {C} .

Определение 2 . Пусть $M$ — комплексное многообразие и $f : M \to R$ — $C 2$ функция. Функция $f$ называется плюригармонической, если

dd^{c}f=0.

Основные свойства

Любая плюригармоническая функция является гармонической функцией , но не наоборот. Далее можно показать, что для голоморфных функций нескольких комплексных переменных действительная (и мнимая) части являются локально плюригармоническими функциями. Однако гармоническая функция по каждой переменной в отдельности не означает, что она плюригармонична.

См. также

Примечания

^ См., например ( Севери 1958 , стр. 196) и ( Рицца 1955 , стр. 202). Пуанкаре (1899 , стр. 111–112) называет такие функции « бигармоническими функциями », независимо от размерности n ≥ 2: его статья, возможно, является ^{[ нужна ссылка ]} более старый, в котором плюригармонический оператор выражается с использованием операторов частных дифференциалов первого порядка, которые теперь называются производными Виртингера .
^ См., например, популярный учебник Кранца (1992 , стр. 92) и продвинутую (хотя и немного устаревшую) монографию Ганнинга и Росси (1965 , стр. 271).

Исторические ссылки

Ганнинг, Роберт С .; Росси, Хьюго (1965), Аналитические функции нескольких комплексных переменных , серия Прентис-Холл в современном анализе , Энглвуд Клиффс , Нью-Джерси: Прентис-Холл , стр. xiv + 317, ISBN 9780821869536 , МР 0180696 , Збл 0141.08601 .
Кранц, Стивен Г. (1992), Теория функций нескольких комплексных переменных , Серия математики Уодсворта и Брукса / Коула (второе изд.), Пасифик Гроув, Калифорния : Уодсворт и Брукс / Коул, стр. xvi + 557, ISBN 0-534-17088-9 , МР 1162310 , Збл 0776.32001 .
Пуанкаре, Х. (1899), «О свойствах потенциала и абелевых функциях», Acta Mathematica (на французском языке), 22 (1): 89–178, doi : 10.1007/BF02417872 , JFM 29.0370.02 .
Севери, Франческо (1958), Лекции по аналитическим функциям нескольких комплексных переменных - Проведены в 1956–57 в Национальном институте высшей математики в Риме (на итальянском языке), Падуя: CEDAM - Издательство доктора Антонио Милани, стр. XIV+255, Збл 0094.28002 . Заметки из курса, проведенного Франческо Севери в Istituto Nazionale di Alta Matematica (который в настоящее время носит его имя), содержащие приложения Энцо Мартинелли , Джованни Баттисты Риццы и Марио Бенедикти . Английский перевод названия гласит: « Лекции по аналитическим функциям нескольких комплексных переменных - читались в 1956–57 годах в Istituto Nazionale di Alta Matematica в Риме ».

Ссылки

Аморосо, Луиджи (1912), «Sopra un Issuea al Contorno» , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на итальянском языке), 33 (1): 75–85, doi : 10.1007/BF03015289 , JFM 43.0453.03 , S2CID 122956910 . набор (достаточно сложных) необходимых и достаточных условий разрешимости задачи Дирихле для голоморфных функций многих переменных Первая статья, в которой дан . Английский перевод названия звучит так: « О краевой задаче ».
Фичера, Гаэтано (1982a), «Граничные задачи для плюригармонических функций», Материалы конференции, посвященной 80-летию со дня рождения Ренато Калапсо, Мессина-Таормина, 1–4 апреля 1981 г. (на итальянском языке), Рим: Libreria Eredi Virgilio Veschi , стр. 127–152, MR 0698973 , Zbl 0958.32504 . « Краевые задачи для плюригармонических функций » (английский перевод названия) посвящены краевым задачам для плюригармонических функций: Фичера доказывает условие следа разрешимости проблемы и делает обзор нескольких более ранних результатов. Энцо Мартинелли, Джованни Баттиста Рицца и Франческо Севери.
Фичера, Гаэтано (1982b), «Граничные значения плюригармонических функций: расширение в пространство R ^{2 н} di un teorema di L. Amoroso», Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano (на итальянском языке), 52 (1): 23–34, doi : 10.1007/BF02924996 , MR 0802991 , S2CID 122147246 , Zbl 0569.31006 . Английский перевод заголовок гласит: « Граничные значения плюригармонических функций: расширение на пространство R». ^{2 н} теоремы Л. Аморосо ».
Фичера, Гаэтано (1982c), «О теореме Л. Аморосо в теории аналитических функций двух комплексных переменных», Revue Romaine de Mathématiques Pures et Appliquées на итальянском языке), 27 : 327–333, MR 06670.39481 , MR 0670.39481 ( Английский перевод названия гласит: « Об одной теореме Л. Аморосо в теории аналитических функций двух комплексных переменных ».
Мацугу, Ясуо (1982), «Плюригармонические функции как действительные части голоморфных функций», Мемуары естественного факультета Университета Кюсю , Серия A, Математика, 36 (2): 157–163, doi : 10.2206/kyushumfs.36.157 , МР 0676796 , Збл 0501.32008 .
Никлиборц, Ладислас (30 марта 1925 г.), «О гипергармонических функциях» , Еженедельные отчеты о сессиях Академии наук (на французском языке), 180 : 1008–1011, JFM 51.0364.02 , доступно в Gallica.
Никлиборц, Ладислас (11 января 1926 г.), «О гипергармонических функциях» , Еженедельные отчеты о сессиях Академии наук (на французском языке), 182 : 110–112, JFM 52.0498.02 , доступно в Gallica.
Рицца, ГБ (1955), «Задача Дирихле для n -гармонических функций и родственные геометрические проблемы» , Mathematische Annalen , 130 : 202–218, doi : 10.1007/BF01343349 , MR 0074881 , S2CID 121147845 , Zbl 0067.33004 , в DigiZeitschirften .

Внешние ссылки

Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Плюригармоническая функция» , Энциклопедия Математики , EMS Press

Эта статья включает в себя материал из функции pluriharmonic на PlanetMath , которая лицензируется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike .

[1] См., например ( Севери 1958 , стр. 196) и ( Рицца 1955 , стр. 202). Пуанкаре (1899 , стр. 111–112) называет такие функции « бигармоническими функциями », независимо от размерности n ≥ 2: его статья, возможно, является ^{[ нужна ссылка ]} более старый, в котором плюригармонический оператор выражается с использованием операторов частных дифференциалов первого порядка, которые теперь называются производными Виртингера .

[2] См., например, популярный учебник Кранца (1992 , стр. 92) и продвинутую (хотя и немного устаревшую) монографию Ганнинга и Росси (1965 , стр. 271).

[1]

[2]