Область голоморфности

Множества в определении.

В математике , в теории функций многих комплексных переменных , областью голоморфности называется область, которая является максимальной в том смысле, что существует голоморфная функция в этой области, которая не может быть расширена на большую область.

Формально открытое множество $\Omega$ в n -мерном комплексном пространстве ${\mathbb {C} }^{n}$ называется областью голоморфности , если не существует непустых открытых множеств $U\subset \Omega$ и $V\subset {\mathbb {C} }^{n}$ где $V$ подключен ​ , $V\not \subset \Omega$ и $U\subset \Omega \cap V$ такая, что для любой голоморфной функции $f$ на $\Omega$ существует голоморфная функция $g$ на $V$ с $f=g$ на $U$

В $n=1$ В этом случае каждое открытое множество является областью голоморфности: мы можем определить голоморфную функцию с нулями, накапливающимися повсюду на границе области, которая тогда должна быть естественной границей области определения ее обратной функции. Для $n\geq 2$ это уже не так, как следует из леммы Хартогса .

Эквивалентные условия

Для домена $\Omega$ следующие условия эквивалентны:

1. $\Omega$ является областью голоморфности
2. $\Omega$ выпукла голоморфно
3. $\Omega$ является псевдовыпуклым
4. $\Omega$ является ли Леви выпуклым - для каждой последовательности $S_{n}\subseteq \Omega$ аналитических компактных поверхностей таких, что $S_{n}\rightarrow S,\partial S_{n}\rightarrow \Gamma$ для какого-то набора $\Gamma$ у нас есть $S\subseteq \Omega$ ( $\partial \Omega$ не может быть «затронут изнутри» последовательностью аналитических поверхностей)
5. $\Omega$ имеет локальное свойство Леви - для каждой точки $x\in \partial \Omega$ существует район $U$ из $x$ и $f$ голоморфный на $U\cap \Omega$ такой, что $f$ не может быть распространено на любую окрестность $x$

Подразумеваемое $1\Leftrightarrow 2,3\Leftrightarrow 4,1\Rightarrow 4,3\Rightarrow 5$ стандартные результаты (для $1\Rightarrow 3$, см. лемму Оки ). Основная трудность состоит в том, чтобы доказать $5\Rightarrow 1$, т.е. построение глобальной голоморфной функции, которая не допускает продолжения за счет непродолжаемых функций, определенных только локально. Это называется проблемой Леви (в честь Э.Э. Леви ) и была сначала решена Киёси Окой , а затем Ларсом Хёрмандером с использованием методов функционального анализа и уравнений в частных производных (следствие ${\bar {\partial }}$-проблема ).

Свойства

• Если $\Omega _{1},\dots ,\Omega _{n}$ являются областями голоморфности, то их пересечение $\Omega =\bigcap _{j=1}^{n}\Omega _{j}$ также является областью голоморфности.
• Если $\Omega _{1}\subseteq \Omega _{2}\subseteq \dots$ является возрастающей последовательностью областей голоморфности, то их объединение $\Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }\Omega _{n}$ также является областью голоморфности (см. теорему Бенке-Штайна ).
• Если $\Omega _{1}$ и $\Omega _{2}$ являются областями голоморфности, то $\Omega _{1}\times \Omega _{2}$ является областью голоморфности.
• Первая проблема Кузена всегда разрешима в области голоморфности; то же самое верно, с дополнительными топологическими предположениями, и для второй проблемы Кузена .

См. также

• Теорема Бенке – Штейна
• Леви псевдовыпуклый
• решение проблемы Леви
• Коллектор Штейна

Ссылки

• Стивен Г. Кранц. Теория функций нескольких комплексных переменных , издательство AMS Chelsea, Провиденс, Род-Айленд, 1992.
• Борис Владимирович Шабат, Введение в комплексный анализ , АМН, 1992 г.

В эту статью включены материалы из Domain of holomorphy на сайте PlanetMath , который распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .