Преобразование Бэклунда

В математике или преобразования Беклунда преобразования Беклунда (названные в честь шведского математика Альберта Виктора Беклунда ) связывают уравнения в частных производных и их решения. Они являются важным инструментом в теории солитонов и интегрируемых системах . Преобразование Беклунда обычно представляет собой систему уравнений в частных производных первого порядка, связывающих две функции и часто зависящих от дополнительного параметра. Это означает, что две функции по отдельности удовлетворяют уравнениям в частных производных, и тогда каждая из двух функций называется преобразованием Беклунда другой.

Преобразование Беклунда, которое связывает решения одного и того же уравнения, называется инвариантным преобразованием Беклунда или автопреобразованием Беклунда . Если такое преобразование удастся найти, можно будет многое сделать о решениях уравнения, особенно если преобразование Беклунда содержит параметр. Однако систематического способа нахождения преобразований Беклунда не известно.

История

Преобразования Беклунда возникли как преобразования псевдосфер в 1880-х годах.

Преобразования Беклунда берут свое начало в дифференциальной геометрии : первым нетривиальным примером является преобразование псевдосферических поверхностей , введенное Л. Бьянки и А. В. Беклундом в 1880-х годах. Это геометрическое построение новой псевдосферической поверхности из исходной такой поверхности с использованием решения линейного дифференциального уравнения . Псевдосферические поверхности можно описать как решения уравнения синус-Гордон , и, следовательно, преобразование Беклунда поверхностей можно рассматривать как преобразование решений уравнения синус-Гордон.

Уравнения Коши–Римана

Прототипическим примером преобразования Беклунда является система Коши – Римана.

u_{x}=v_{y},\quad u_{y}=-v_{x},\,

который связывает действительную и мнимую части $u$ и $v$ голоморфной функции . Эта система уравнений в частных производных первого порядка обладает следующими свойствами.

Если $u$ и $v$ являются решениями уравнений Коши–Римана, то $u$ является решением уравнения Лапласа
$u_{xx}+u_{yy}=0$
(т. е. гармоническая функция ), и поэтому $v$ . Это следует непосредственно из дифференцирования уравнений относительно $x$ и $y$ и используя тот факт, что
$u_{xy}=u_{yx},\quad v_{xy}=v_{yx}.\,$
И наоборот, если $u$ является решением уравнения Лапласа, то существуют функции $v$ которые решают уравнения Коши–Римана вместе с $u$ .

Таким образом, в этом случае преобразование Беклунда гармонической функции представляет собой просто сопряженную гармоническую функцию . Более точно, указанные выше свойства означают, что уравнение Лапласа для $u$ и уравнение Лапласа для $v$ – условия интегрируемости решения уравнений Коши–Римана.

Это характерные особенности преобразования Беклунда. Если у нас есть уравнение в частных производных $u$ и преобразование Бэклунда из $u$ к $v$ , мы можем вывести уравнение в частных производных, которому удовлетворяет уравнение $v$ .

Этот пример достаточно тривиален, поскольку все три уравнения (уравнение для $u$ , уравнение для $v$ и связывающее их преобразование Беклунда) линейны. Преобразования Беклунда наиболее интересны, когда только одно из трех уравнений является линейным.

Уравнение синус-Гордона

Предположим, что u — решение уравнения синус-Гордон

u_{xy}=\sin u.\,

Тогда система

{\begin{aligned}v_{x}&=u_{x}+2a\sin {\Bigl (}{\frac {v+u}{2}}{\Bigr )}\\v_{y}&=-u_{y}+{\frac {2}{a}}\sin {\Bigl (}{\frac {v-u}{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!

где a — произвольный параметр, разрешимо для функции v , которая также будет удовлетворять уравнению синус-Гордон. Это пример автопреобразования Беклунда.

Используя матричную систему, также можно найти линейное преобразование Беклунда для решений уравнения синус-Гордон.

Уравнение Лиувилля

Преобразование Беклунда может превратить нелинейное уравнение в частных производных в более простое линейное уравнение в частных производных.

Например, если u и v связаны преобразованием Беклунда

{\begin{aligned}v_{x}&=u_{x}+2a\exp {\Bigl (}{\frac {u+v}{2}}{\Bigr )}\\v_{y}&=-u_{y}-{\frac {1}{a}}\exp {\Bigl (}{\frac {u-v}{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!

где a — произвольный параметр, и если u — решение уравнения Лиувилля

$u_{xy}=\exp u\,\!$

тогда v является решением гораздо более простого уравнения: $v_{xy}=0$ , и наоборот.

Затем мы можем решить (нелинейное) уравнение Лиувилля, работая с гораздо более простым линейным уравнением.

См. также

Ссылки

Германн, Роберт (1976). Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений, преобразования Беклунда и солитоны . Математическая научная пресса. ISBN 978-0-915692-16-3 .
Роджерс, К.; Шедвик, В.Ф. (12 мая 1982 г.), Преобразования Беклунда и их приложения (1-е изд.), Academic Press, ISBN 0-12-592850-5
Роджерс, К.; Шиф, Вольфганг Карл (2002), преобразования Беклунда и Дарбу , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-01288-1 , отрывок
А. Д. Полянин и В. Ф. Зайцев, Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных , Chapman & Hall/CRC Press, 2004.

Внешние ссылки