Уравнение Лиувилля

Об уравнении Лиувилля в динамических системах см. Теорему Лиувилля (гамильтониан) .

Чтобы узнать об уравнении Лиувилля в квантовой механике, см. уравнение фон Неймана .

Об уравнении Лиувилля в евклидовом пространстве см. Уравнение Лиувилля – Брату – Гельфанда .

В дифференциальной геометрии уравнение Лиувилля , названное в честь Жозефа Лиувилля , ^[1]^[2] — нелинейное уравнение в частных производных, которому удовлетворяет конформный фактор $f$ метрики $f 2 (д х 2 + д й 2)$ на поверхности постоянной гауссовой кривизны $K$ :

\Delta _{0}\log f=-Kf^{2},

где $∆ 0$ — плоский оператор Лапласа

\Delta _{0}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}=4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}.

Уравнение Лиувилля появляется при изучении изотермических координат в дифференциальной геометрии: независимые переменные $x, y$ являются координатами, а $f$ можно описать как конформный фактор по отношению к плоской метрике. Иногда это квадрат $f. 2$ это называется конформным фактором, а не $самим f$ .

Уравнение Лиувилля также было взято в качестве примера Дэвидом Гильбертом при формулировке его девятнадцатой проблемы . ^[3]

Другие распространенные формы уравнения Лиувилля

Используя замену переменных $log f \mapsto u$ , получается другая часто встречающаяся форма уравнения Лиувилля:

\Delta _{0}u=-Ke^{2u}.

Две другие формы уравнения, часто встречающиеся в литературе, ^[4] получаются с использованием небольшого варианта $2 log f \mapsto u$ предыдущей замены переменных и исчисления Виртингера : ^[5] $\Delta _{0}u=-2Ke^{u}\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}u}{{\partial z}{\partial {\bar {z}}}}}=-{\frac {K}{2}}e^{u}.$

Заметим, что именно в первой из двух предыдущих форм уравнение Лиувилля было приведено Давидом Гильбертом в формулировке его девятнадцатой проблемы . ^[3]^[а]

Формулировка с использованием оператора Лапласа – Бельтрами.

Более инвариантным образом уравнение можно записать в терминах внутреннего оператора Лапласа – Бельтрами.

\Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{f^{2}}}\Delta _{0}

следующее:

\Delta _{\mathrm {LB} }\log \;f=-K.

Характеристики

Связь с уравнениями Гаусса – Кодацци.

Уравнение Лиувилля эквивалентно уравнениям Гаусса–Кодацци для минимальных погружений в трехмерное пространство, когда метрика записана в изотермических координатах. $z$ такой, что дифференциал Хопфа равен $\mathrm {d} z^{2}$ .

Общее решение уравнения

В односвязной области $Ω$ общее решение уравнения Лиувилля можно найти с помощью исчисления Виртингера. ^[6] Его форма определяется

u(z,{\bar {z}})=\ln \left(4{\frac {\left|{\mathrm {d} f(z)}/{\mathrm {d} z}\right|^{2}}{(1+K\left|f(z)\right|^{2})^{2}}}\right)

где $f (z)$ — любая мероморфная функция такая, что

$.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ d ж / d z ⁠ ( z ) ≠ 0$ для каждого $z \in Ω$ . ^[6]
$f (z)$ имеет не более чем простые полюсы в $Ω$ . ^[6]

Приложение

Уравнение Лиувилля можно использовать для доказательства следующих результатов классификации поверхностей:

Теорема . ^[7] Поверхность в евклидовом 3-пространстве с метрикой $d l 2 = g (z,_z)d z d_z$ , и с постоянной скалярной кривизной $K$ локально изометрично:

сфера , если $K > 0$ ;
евклидова плоскость , если $K = 0$ ;
плоскость Лобачевского, если $K < 0$ .

См. также

Теория поля Лиувилля — двумерная конформная теория поля, классическое уравнение движения которой является обобщением уравнения Лиувилля.

Примечания

^ Гильберт предполагает $K = -1/2$ , поэтому уравнение выглядит как следующее полулинейное эллиптическое уравнение
${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=e^{f}$

Цитаты

^ Лиувилл, Жозеф (1838). «К теории изменения произвольных констант» (PDF) . Журнал чистой и прикладной математики . 3 : 342–349.
^ Эрендорфер, Мартин. «Уравнение Лиувилля: предыстория - историческая справка». Уравнение Лиувилля в предсказуемости атмосферы (PDF) . стр. 48–49.
^ Jump up to: ^а ^б См. ( Hilbert 1900 , стр. 288): Гильберт не цитирует явно Джозефа Лиувилля.
^ См. ( Дубровин, Новиков и Фоменко 1992 , стр. 118) и ( Хенрици 1993 , стр. 294).
^ См. ( Henric 1993 , стр. 287–294).
^ Jump up to: ^а ^б ^с См. ( Хенрик 1993 , стр. 294).
^ See ( Dubrovin, Novikov & Fomenko 1992 , pp. 118–120).

Цитируемые работы

Дубровин, Б.А.; Новиков, ИП ; Фоменко А.Т. (1992) [Впервые опубликовано в 1984 г.], Современная геометрия – методы и приложения. Часть I. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей , Аспирантура по математике , вып. 93 (2-е изд.), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag, стр. xv + 468, ISBN 3-540-97663-9 , МР 0736837 , Збл 0751.53001 .
Хенричи, Питер (1993) [Впервые опубликовано в 1986 г.], Прикладной и вычислительный комплексный анализ , Wiley Classics Library, vol. 3 (Переиздание), Нью-Йорк - Чичестер - Брисбен - Торонто - Сингапур: John Wiley & Sons, стр. X + 637, ISBN 0-471-58986-1 , МР 0822470 , Збл 1107.30300 .
Гильберт, Дэвид (1900), «Математические проблемы» , Новости Королевского общества наук в Геттингене, Математически-физический класс (на немецком языке) (3): 253–297, JFM 31.0068.03 , переведено на английский Мэри Фрэнсис Уинстон Ньюсон как Гильберт, Дэвид (1902), «Математические проблемы» , Бюллетень Американского математического общества , 8 (10): 437–479, doi : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 , JFM 33.0976.07 , MR 1557926 .

[6] Гильберт предполагает $K = -1/2$ , поэтому уравнение выглядит как следующее полулинейное эллиптическое уравнение
${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=e^{f}$

[1] Лиувилл, Жозеф (1838). «К теории изменения произвольных констант» (PDF) . Журнал чистой и прикладной математики . 3 : 342–349.

[2] Эрендорфер, Мартин. «Уравнение Лиувилля: предыстория - историческая справка». Уравнение Лиувилля в предсказуемости атмосферы (PDF) . стр. 48–49.

[Hilbertp288-3] Jump up to: ^а ^б См. ( Hilbert 1900 , стр. 288): Гильберт не цитирует явно Джозефа Лиувилля.

[4] См. ( Дубровин, Новиков и Фоменко 1992 , стр. 118) и ( Хенрици 1993 , стр. 294).

[5] См. ( Henric 1993 , стр. 287–294).

[JJSON-7] Jump up to: ^а ^б ^с См. ( Хенрик 1993 , стр. 294).

[8] See ( Dubrovin, Novikov & Fomenko 1992 , pp. 118–120).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[а]

[6]

[7]