Уравнение Лиувилля–Брату–Гельфанда.

Чтобы узнать об уравнении Лиувилля в дифференциальной геометрии, см. уравнение Лиувилля .

В математике уравнение Лиувилля-Брату-Гельфанда или уравнение Лиувилля представляет собой нелинейное уравнение Пуассона , названное в честь математиков Жозефа Лиувилля , Георге Брату и Израиль Гельфанд . Уравнение гласит

$\nabla ^{2}\psi +\lambda e^{\psi }=0$

Уравнение появляется в тепловом разбеге как теория Франка-Каменецкого , в астрофизике, например, уравнение Эмдена-Чандрасекара . Это уравнение также описывает пространственный заряд электричества вокруг раскаленного провода. и описывает планетарную туманность .

Решение Лиувилля

В двух измерениях с декартовыми координатами $(x,y)$ предложил Джозеф Лиувилл решение в 1853 году:

$\lambda e^{\psi }(u^{2}+v^{2}+1)^{2}=2\left[\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}\right]$

где $f(z)=u+iv$ — произвольная аналитическая функция с $z=x+iy$. В 1915 году Г. Уокер нашел решение, приняв форму для $f(z)$. Если $r^{2}=x^{2}+y^{2}$, то решение Уокера будет

$8e^{-\psi }=\lambda \left[\left({\frac {r}{a}}\right)^{n}+\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}\right]^{2}$

где $a$ есть некоторый конечный радиус. Это решение затухает на бесконечности для любого $n$, но становится бесконечным в начале координат для $n<1$ , становится конечным в начале координат для $n=1$ и становится нулем в начале координат для $n>1$. Уокер также предложил еще два решения в своей статье 1915 года.

Радиально-симметричные формы

Если изучаемая система радиально симметрична, то уравнение в $n$ измерение становится

$\psi ''+{\frac {n-1}{r}}\psi '+\lambda e^{\psi }=0$

где $r$ это расстояние от начала координат. С граничными условиями

$\psi '(0)=0,\quad \psi (1)=0$

и для $\lambda \geq 0$, реальное решение существует только для $\lambda \in [0,\lambda _{c}]$, где $\lambda _{c}$ – критический параметр, называемый параметром Франка-Каменецкого . Критический параметр $\lambda _{c}=0.8785$ для $n=1$, $\lambda _{c}=2$ для $n=2$ и $\lambda _{c}=3.32$ для $n=3$. Для $n=1,\ 2$существует два решения и для $3\leq n\leq 9$ существует бесконечно много решений, причем решения колеблются вокруг точки $\lambda =2(n-2)$. Для $n\geq 10$, решение единственное, и в этих случаях критический параметр определяется выражением $\lambda _{c}=2(n-2)$. Множественность решения для $n=3$ был открыт Израилем Гельфандом в 1963 г., а позднее в 1973 г. обобщен для всех $n$ Дэниел Д. Джозеф и Томас С. Лундгрен .

Решение для $n=1$ это действительно в диапазоне $\lambda \in [0,0.8785]$ дается

$\psi =-2\ln \left[e^{-\psi _{m}/2}\cosh \left({\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {2}}}e^{-\psi _{m}/2}r\right)\right]$

где $\psi _{m}=\psi (0)$ связано с $\lambda$ как

$e^{\psi _{m}/2}=\cosh \left({\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {2}}}e^{-\psi _{m}/2}\right).$

Решение для $n=2$ это действительно в диапазоне $\lambda \in [0,2]$ дается

$\psi =\ln \left[{\frac {64e^{\psi _{m}}}{(\lambda e^{\psi _{m}}r^{2}+8)^{2}}}\right]$

где $\psi _{m}=\psi (0)$ связано с $\lambda$ как

$(\lambda e^{\psi _{m}}+8)^{2}-64e^{\psi _{m}}=0.$