Jump to content

Гармоническое сопряжение

В математике функция вещественная определено на связном открытом множестве Говорят, что он имеет сопряженную (функцию) тогда и только тогда, когда они являются соответственно действительной и мнимой частями голоморфной функции. комплексной переменной То есть, сопряжено с если голоморфен на Как первое следствие определения, они обе являются гармоническими вещественными функциями на . Более того, сопряжение если он существует, то уникален с точностью до аддитивной константы. Также, сопряжено с тогда и только тогда, когда сопряжено с .

Описание [ править ]

Эквивалентно, сопряжено с в тогда и только тогда, когда и удовлетворяют уравнениям Коши–Римана в Как непосредственное следствие последнего эквивалентного определения, если любая гармоническая функция на функция сопряжено с ибо тогда уравнения Коши–Римана суть не что иное, как и симметрия смешанных производных второго порядка , Следовательно, гармоническая функция допускает сопряженную гармоническую функцию тогда и только тогда, когда голоморфная функция имеет примитивный в в этом случае сопряжение это, конечно, Таким образом, любая гармоническая функция всегда допускает сопряженную функцию, если ее область определения , односвязна и в любом случае она допускает сопряженную функцию локально в любой точке своей области определения.

Существует оператор, берущий гармоническую функцию u в односвязной области в к его гармоническому сопряженному v (полагая, например, v ( x 0 ) = 0 для данного x 0 , чтобы зафиксировать неопределенность сопряженного с точностью до констант). Это хорошо известно в приложениях как (по сути) преобразование Гильберта ; это также основной пример математического анализа в связи с сингулярными интегральными операторами . Сопряженные гармонические функции (и преобразование между ними) также являются одним из простейших примеров преобразования Беклунда (два УЧП и преобразование, связывающее их решения), в данном случае линейного; более сложные преобразования представляют интерес для солитонов и интегрируемых систем .

Геометрически u и v связаны как имеющие ортогональные траектории , удаленные от нулей базовой голоморфной функции; контуры, на которых u и v постоянны, пересекаются под прямым углом . В этом отношении u + iv будет комплексным потенциалом , где u потенциальная функция , а v функция тока .

Примеры [ править ]

Например, рассмотрим функцию

С

и
это удовлетворяет
( является оператором Лапласа ) и, таким образом, является гармоническим. Теперь предположим, что у нас есть такие, что выполняются уравнения Коши–Римана:

и

Упрощая,

и
что при решении дает

Заметим, что если бы функции, связанные с u и v, были заменены местами, функции не были бы гармонически сопряженными, поскольку знак минус в уравнениях Коши – Римана делает отношения асимметричными.

Свойство конформного отображения аналитических функций (в точках, где производная не равна нулю) порождает геометрическое свойство гармонических сопряжений. Очевидно, что гармоническое сопряжение x — это y , а линии констант x и константы y ортогональны. Конформность говорит, что контуры констант u ( x , y ) и v ( x , y ) также будут ортогональны там, где они пересекаются (вдали от нулей f ′( z ) ). Это означает, что v есть частное решение задачи об ортогональной траектории для семейства контуров, заданных u (естественно, не единственное решение, поскольку мы можем взять и функции от v ): вопрос, восходящий к математике семнадцатого века. столетия, поиска кривых, пересекающих заданное семейство непересекающихся кривых под прямым углом.

Гармоническое сопряжение в геометрии [ править ]

встречается еще раз Термин «гармоническое сопряжение» в математике, а точнее, в проективной геометрии . Две точки A и B называются гармонически сопряженными друг другу относительно другой пары точек C, D, если перекрестное отношение ( ABCD ) равно −1.

Ссылки [ править ]

  • Браун, Джеймс Уорд; Черчилль, Руэл В. (1996). Комплексные переменные и приложения (6-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 61 . ISBN  0-07-912147-0 . Если две заданные функции u и v гармоничны в области D и их частные производные первого порядка удовлетворяют уравнениям Коши-Римана (2) во всей области D , то v называется гармонически сопряженной функцией u .

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 71aeb8781e4ac91c0906e95e44458146__1695256740
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/71/46/71aeb8781e4ac91c0906e95e44458146.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Harmonic conjugate - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)