Гармоническое сопряжение
В математике функция вещественная определено на связном открытом множестве Говорят, что он имеет сопряженную (функцию) тогда и только тогда, когда они являются соответственно действительной и мнимой частями голоморфной функции. комплексной переменной То есть, сопряжено с если голоморфен на Как первое следствие определения, они обе являются гармоническими вещественными функциями на . Более того, сопряжение если он существует, то уникален с точностью до аддитивной константы. Также, сопряжено с тогда и только тогда, когда сопряжено с .
Описание [ править ]
Эквивалентно, сопряжено с в тогда и только тогда, когда и удовлетворяют уравнениям Коши–Римана в Как непосредственное следствие последнего эквивалентного определения, если любая гармоническая функция на функция сопряжено с ибо тогда уравнения Коши–Римана суть не что иное, как и симметрия смешанных производных второго порядка , Следовательно, гармоническая функция допускает сопряженную гармоническую функцию тогда и только тогда, когда голоморфная функция имеет примитивный в в этом случае сопряжение это, конечно, Таким образом, любая гармоническая функция всегда допускает сопряженную функцию, если ее область определения , односвязна и в любом случае она допускает сопряженную функцию локально в любой точке своей области определения.
Существует оператор, берущий гармоническую функцию u в односвязной области в к его гармоническому сопряженному v (полагая, например, v ( x 0 ) = 0 для данного x 0 , чтобы зафиксировать неопределенность сопряженного с точностью до констант). Это хорошо известно в приложениях как (по сути) преобразование Гильберта ; это также основной пример математического анализа в связи с сингулярными интегральными операторами . Сопряженные гармонические функции (и преобразование между ними) также являются одним из простейших примеров преобразования Беклунда (два УЧП и преобразование, связывающее их решения), в данном случае линейного; более сложные преобразования представляют интерес для солитонов и интегрируемых систем .
Геометрически u и v связаны как имеющие ортогональные траектории , удаленные от нулей базовой голоморфной функции; контуры, на которых u и v постоянны, пересекаются под прямым углом . В этом отношении u + iv будет комплексным потенциалом , где u — потенциальная функция , а v — функция тока .
Примеры [ править ]
Например, рассмотрим функцию
С
Упрощая,
Заметим, что если бы функции, связанные с u и v, были заменены местами, функции не были бы гармонически сопряженными, поскольку знак минус в уравнениях Коши – Римана делает отношения асимметричными.
Свойство конформного отображения аналитических функций (в точках, где производная не равна нулю) порождает геометрическое свойство гармонических сопряжений. Очевидно, что гармоническое сопряжение x — это y , а линии констант x и константы y ортогональны. Конформность говорит, что контуры констант u ( x , y ) и v ( x , y ) также будут ортогональны там, где они пересекаются (вдали от нулей f ′( z ) ). Это означает, что v есть частное решение задачи об ортогональной траектории для семейства контуров, заданных u (естественно, не единственное решение, поскольку мы можем взять и функции от v ): вопрос, восходящий к математике семнадцатого века. столетия, поиска кривых, пересекающих заданное семейство непересекающихся кривых под прямым углом.
Гармоническое сопряжение в геометрии [ править ]
встречается еще раз Термин «гармоническое сопряжение» в математике, а точнее, в проективной геометрии . Две точки A и B называются гармонически сопряженными друг другу относительно другой пары точек C, D, если перекрестное отношение ( ABCD ) равно −1.
Ссылки [ править ]
- Браун, Джеймс Уорд; Черчилль, Руэл В. (1996). Комплексные переменные и приложения (6-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 61 . ISBN 0-07-912147-0 .
Если две заданные функции u и v гармоничны в области D и их частные производные первого порядка удовлетворяют уравнениям Коши-Римана (2) во всей области D , то v называется гармонически сопряженной функцией u .