Теорема Лумана – Меншоффа

В математической области комплексного анализа теорема Лумана -Меншоффа утверждает, что непрерывная комплекснозначная функция, определенная в открытом множестве голоморфна комплексной плоскости, и тогда только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям Коши-Римана . Таким образом, это обобщение теоремы Эдуарда Гурса , которая вместо того, чтобы предполагать непрерывность f , предполагает ее дифференцируемость по Фреше , когда она рассматривается как функция из подмножества R. ² в Р ² .

Полная формулировка теоремы выглядит следующим образом:

• Пусть Ω — открытое множество в C и f : Ω → C — непрерывная функция. Предположим, что частные производные $\partial f/\partial x$ и $\partial f/\partial y$ существуют везде, кроме счетного множества в Ω. Тогда f голоморфна тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению Коши–Римана:

${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)=0.$

Примеры

Луман отметил, что функция, заданная формулой f ( z ) = exp(− z ⁻⁴ ) при z ≠ 0, f (0) = 0 всюду удовлетворяет уравнениям Коши–Римана, но не является аналитической (и даже непрерывной) при z функцию f = 0. Это показывает, что в теореме следует считать непрерывной.

Функция, заданная f ( z ) = z ⁵ /| с | ⁴ при z ≠ 0 функция f (0) = 0 непрерывна всюду и удовлетворяет уравнениям Коши–Римана при z = 0, но не является аналитической при z = 0 (или где-либо еще). Это показывает, что наивное обобщение теоремы Лумана-Меншоффа на одну точку неверно :

• Пусть f непрерывна в окрестности точки z и такая, что $\partial f/\partial x$ и $\partial f/\partial y$ существовать в точке z . Тогда f голоморфна в точке z тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению Коши–Римана в точке z .

Ссылки

• Грей, Джей Ди; Моррис, С.А. (1978), «Когда функция удовлетворяет аналитическим уравнениям Коши-Римана?», The American Mathematical Monthly , 85 (4) (опубликовано в апреле 1978 г.): 246–256, doi : 10.2307/2321164 , JSTOR   2321164 .
• Луман, Х. (1923), «О дифференциальных уравнениях Коши – Римана», Göttinger Nachrichten : 97–108 .
• Меншофф, Д. (1936), Условия моногенности , Париж. {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) .
• Монтель, П. (1913), «О полных дифференциалах и моногенных функциях», CR Acad. наук. Париж , 156 : 1820–1822 .
• Нарасимхан, Рагхаван (2001), Комплексный анализ по одной переменной , Биркхойзер, ISBN  0-8176-4164-5 .