Личность Вайценбека

В математике , в частности в дифференциальной геометрии , математической физике и теории представлений , тождество Вайценбека , названное в честь Роланда Вайценбека , выражает связь между двумя эллиптическими операторами второго порядка на многообразии с одним и тем же главным символом. Обычно формулы Вейценбека реализуются для G -инвариантных самосопряженных операторов между векторными расслоениями , связанными с некоторым главным G -расслоением , хотя точные условия, при которых такая формула существует, сформулировать трудно. В этой статье основное внимание уделяется трем примерам тождеств Вайценбека: из римановой геометрии , спиновой геометрии и комплексного анализа .

Риманова геометрия

В римановой геометрии существуют два понятия лапласиана на дифференциальных формах над ориентированным компактным римановым многообразием M . В первом определении используется оператор дивергенции δ, определенный как формальный сопряженный оператор де Рама d : $\int _{M}\langle \alpha ,\delta \beta \rangle :=\int _{M}\langle d\alpha ,\beta \rangle$ где α — любая p -форма, β — любая ( p + 1 )-форма, и $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ — метрика, индуцированная на расслоении ( p + 1 )-форм. Тогда обычная форма лапласиана будет иметь вид $\Delta =d\delta +\delta d.$

С другой стороны, связность Леви-Чивита предоставляет дифференциальный оператор $\nabla :\Omega ^{p}M\rightarrow \Omega ^{1}M\otimes \Omega ^{p}M,$ где Ом ^пM — расслоение p -форм. Лапласиан Бохнера определяется выражением $\Delta '=\nabla ^{*}\nabla$ где $\nabla ^{*}$ является сопряжением $\nabla$ . Это также известно как связность или грубый лапласиан.

Тогда формула Вайценбека утверждает, что $\Delta '-\Delta =A$ где A — линейный оператор нулевого порядка, включающий только кривизну.

Точная форма A задается с точностью до общего знака, зависящего от соглашений о кривизне, по формуле $A={\frac {1}{2}}\langle R(\theta ,\theta )\#,\#\rangle +\operatorname {Ric} (\theta ,\#),$ где

R — тензор кривизны Римана,
Ric – тензор Риччи,
$\theta :T^{*}M\otimes \Omega ^{p}M\rightarrow \Omega ^{p+1}M$ - это отображение, которое берет клиновое произведение 1-формы и p -формы и дает ( p +1)-форму,
$\#:\Omega ^{p+1}M\rightarrow T^{*}M\otimes \Omega ^{p}M$ — универсальный вывод, обратный θ на 1-формах.

Геометрия вращения

Если M — ориентированное спиновое многообразие с оператором Дирака ð, то можно сформировать спиновый лапласиан ∆ = ð ² на спиновом пучке. С другой стороны, связность Леви-Чивита распространяется на спиновое расслоение, давая дифференциальный оператор $\nabla :SM\rightarrow T^{*}M\otimes SM.$ Как и в случае римановых многообразий, пусть $\Delta '=\nabla ^{*}\nabla$ . Это еще один самосопряженный оператор, причем имеющий тот же главный символ, что и спиновый лапласиан. Формула Вайценбека дает: $\Delta '-\Delta =-{\frac {1}{4}}Sc$ где Sc – скалярная кривизна. Этот результат также известен как формула Лихнеровича .

Сложная дифференциальная геометрия

Если M — компактное кэлерово многообразие , существует формула Вейценбека, связывающая ${\bar {\partial }}$ -лапласиан (см. комплекс Дольбо ) и евклидов лапласиан на ( p , q )-формах . Конкретно, пусть $\Delta ={\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*},$ и $\Delta '=-\sum _{k}\nabla _{k}\nabla _{\bar {k}}$ в унитарной системе отсчета в каждой точке.

По формуле Вайценбека, если $\alpha \in \Omega ^{(p,q)}M$ , затем $\Delta ^{\prime }\alpha -\Delta \alpha =A(\alpha )$ где $A$ — оператор нулевого порядка, включающий кривизну. В частности, если $\alpha =\alpha _{i_{1}i_{2}\dots i_{p}{\bar {j}}_{1}{\bar {j}}_{2}\dots {\bar {j}}_{q}}$ в унитарной системе отсчета, то $A(\alpha )=-\sum _{k,j_{s}}\operatorname {Ric} _{{\bar {j}}_{\alpha }}^{\bar {k}}\alpha _{i_{1}i_{2}\dots i_{p}{\bar {j}}_{1}{\bar {j}}_{2}\dots {\bar {k}}\dots {\bar {j}}_{q}}$ с k на s -м месте.

Другие личности Вайценбека

В конформной геометрии существует формула Вейценбека, связывающая конкретную пару дифференциальных операторов, определенных на связке тракторов . См. Брэнсон Т. и Говер А.Р. «Конформно-инвариантные операторы, дифференциальные формы, когомологии и обобщение Q-кривизны», Communications in Partial Differential Equations , 30 (2005) 1611–1669.

См. также

Ссылки

Гриффитс, Филип ; Харрис, Джо (1978), Принципы алгебраической геометрии , Wiley-Interscience (опубликовано в 1994 г.), ISBN 978-0-471-05059-9