Формула Лихнеровича

Формула Лихнеровича (также известная как формула Лихнеровича–Вайценбека ) — фундаментальное уравнение при анализе спиноров на псевдоримановых многообразиях . В размерности 4 он образует часть теории Зайберга-Виттена и других аспектов калибровочной теории . Он назван в честь известных математиков Андре Лихнеровича, доказавшего его в 1963 году, и Роланда Вайценбека . Формула дает связь между оператором Дирака и оператором Лапласа–Бельтрами, действующим на спиноры, в которых скалярная кривизна естественным образом возникает . Результат важен, поскольку он обеспечивает интерфейс между результатами изучения эллиптических уравнений в частных производных , результатами, касающимися скалярной кривизны, и результатами по спинорам и спиновым структурам.

Учитывая спиновую структуру на псевдоримановом многообразии M и спинорном расслоении S , формула Лихнеровича утверждает, что на сечении ψ S ,

$D^{2}\psi =\nabla ^{*}\nabla \psi +{\frac {1}{4}}\operatorname {Sc} \psi$

где Sc обозначает скалярную кривизну и $\nabla ^{*}\nabla$ является лапласианом связи . В более общем смысле, учитывая комплексную спиновую структуру на псевдоримановом многообразии M , спинорное расслоение W ^± с разделом $\phi$и связность A на ее детерминантном линейном расслоении L формула Лихнеровича имеет вид

$D_{A}^{*}D_{A}\phi =\nabla _{A}^{*}\nabla _{A}\phi +{\frac {1}{4}}R\phi +{\frac {1}{2}}\langle F_{A}^{+},\phi \rangle .$

Здесь, $D_{A}$ это оператор Дирака $D_{A}:\Gamma (W^{+})\to \Gamma (W^{-}),$ и $\nabla _{A}$ — ковариантная производная, связанная со связью A, $\nabla _{A}:\Gamma (W^{+})\to \Gamma (W^{+}\otimes T_{M}^{*})$. $R$ — обычная скалярная кривизна (сужение тензора Риччи ) и $F_{A}^{+}$ — самодвойственная часть кривизны A. Звездочки обозначают сопряженную величину и скобки $\langle ,\rangle$ обозначим действие Клиффорда .

См. также

• Формула Вайценбека

Ссылки

• Лихнерович, А. (1963), «Гармонические спиноры» , CR Acad. наук. Париж , 257 : 7–9.
• Лоусон, Х. Блейн; Майкельсон, Мария-Луиза (1989), Спиновая геометрия , Princeton University Press , ISBN  978-0-691-08542-5
• Лебрен, Клод (2002), Метрики Эйнштейна, 4-многообразия и дифференциальная топология
• Скорпан, Александру (2005), Дикий мир 4-многообразий , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество