Комплектация трактора

В конформной геометрии тракторное расслоение — это особое векторное расслоение, построенное на конформном многообразии , слои которого образуют эффективное представление конформной группы (см. Соответствующее расслоение ).

Термин «трактор» представляет собой смесь слов «Трейси Томас» и «твистор», причем этот пучок был впервые введен Т.Я. Томасом как альтернативная формулировка Картана конформного соединения . а затем переоткрыт в рамках формализма локальных твисторов и обобщен на проективные связи Майклом Иствудом и др. в Тракторные пучки могут быть определены для произвольной параболической геометрии .

Конформные многообразия

Комплектация трактора для $n$-мерное конформное многообразие $M$ подписи $(p,q)$ это звание $n+2$ векторный пучок ${\mathcal {T}}\to M$ оснащен следующими данными:

• метрика $G:{\mathcal {T}}\otimes {\mathcal {T}}\to \mathbb {R}$, подписи $(p+1,q+1)$,
• подгруппа строк ${\mathcal {X}}\subset {\mathcal {T}}$,
• линейная связь $\nabla$, сохраняя метрику $G$и удовлетворяющее свойству невырожденности, которое для любого локального неисчезающего сечения $X$ из комплекта ${\mathcal {X}}$,

$$v\mapsto \nabla _{v}X{\pmod {\mathcal {X}}}$$является линейным изоморфизмом в каждой точке касательного расслоения к $M$ ( $v\in TM$) к факторрасслоению ${\mathcal {X}}^{\perp }/{\mathcal {X}}$, где ${\mathcal {X}}^{\perp }$ обозначает ортогональное дополнение ${\mathcal {X}}$ в ${\mathcal {T}}$ относительно метрики $G$.

Учитывая связку тракторов, метрики в конформном классе задаются путем фиксации локального сечения $X$ из ${\mathcal {X}}$и определяя для $v,w\in TM$, $$g_{X}(v,w)=G(\nabla _{v}X,\nabla _{w}X).$$

Чтобы пойти другим путем и построить связку тракторов из конформной конструкции, потребуется больше работы. Тогда притягивающее расслоение представляет собой ассоциированное расслоение геометрии Картана, определяемое конформной структурой. Конформная группа многообразия сигнатуры $(p,q)$ является $SO(p+1,q+1)$, и мы получаем тракторное расслоение (со связностью) как связность, индуцированную конформной связностью Картана на расслоении, ассоциированном со стандартным представлением конформной группы. Поскольку слой конформного расслоения Картана является стабилизатором нулевого луча, это выделяет линейное расслоение ${\mathcal {X}}$.

Более явно предположим, что $g$ является показателем $M$, с соединением Леви-Чивита $\nabla$. Тракторная связка — это пространство двух струй решений. $\sigma$ к уравнению собственных значений $$(\nabla _{i}\nabla _{j}+P_{ij})\sigma =\lambda g_{ij}$$где $P_{ij}$ – тензор Схоутена . Небольшая работа показывает, что секции комплекта тракторов (в фиксированной калибровке Вейля) могут быть представлены формулой $(n+2)$-векторы $$U^{I}={\begin{bmatrix}\sigma \\\mu ^{i}\\\rho \end{bmatrix}}.$$Связь $$\nabla _{j}U^{I}=\nabla _{j}{\begin{bmatrix}\sigma \\\mu ^{i}\\\rho \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla _{j}\sigma -\mu _{j}\\\nabla _{j}\mu ^{i}+\delta _{j}^{i}\rho +P_{j}^{i}\sigma \\\nabla _{j}\rho -P_{ji}\mu ^{i}\end{bmatrix}}.$$Метрика, на $U^{I}=(\sigma \ \mu ^{i}\ \rho )$ и $V^{J}=(\tau \ \nu ^{j}\ \alpha )$ является: $$G_{IJ}U^{I}V^{J}=\mu ^{i}\nu _{i}+\sigma \tau +\rho \alpha$$Предпочтительная линейная группа ${\mathcal {X}}$ это промежуток $$X^{I}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}.$$

Учитывая изменение шкалы Вейля ${\widehat {g}}_{ij}=e^{2\gamma }g_{ij}$, составные части тракторной связки изменяются по правилу $${\begin{bmatrix}{\widehat {\sigma }}\\{\widehat {\mu }}^{i}\\{\widehat {\rho }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma \\\mu ^{i}+\gamma ^{i}\sigma \\\rho -\gamma _{j}\mu ^{j}-\gamma ^{2}\sigma /2\end{bmatrix}}$$где $\gamma _{i}=\nabla _{i}\gamma$, и обратная метрика $g^{ij}$ был использован в одном месте для поднятия индекса. Очевидно, что комплект ${\mathcal {X}}$ инвариантен относительно изменения калибровки, и инвариантность связи можно показать, используя конформную замену связности Леви-Чивита и тензора Схоутена.

Проективные многообразия

Позволять $M$ быть проективным многообразием размерности $n$. Тогда связка трактора является рангом $n+1$ векторный пучок ${\mathcal {T}}$, с подключением $\nabla$, на $M$ оснащен дополнительными данными линейного подпакета ${\mathcal {X}}$ такое, что для любого неисчезающего локального сечения $X$ из ${\mathcal {X}}$, линейный оператор $$v\mapsto \nabla _{v}X{\pmod {\mathcal {X}}}$$является линейным изоморфизмом касательного пространства к ${\mathcal {T}}/{\mathcal {X}}$.

Аффинную связность в проективном классе восстанавливают по разрезу $X$ из ${\mathcal {X}}$ определяя $$\nabla _{\nabla _{v}w}X=\nabla _{v}\nabla _{w}X{\pmod {\mathcal {X}}}$$и используя вышеупомянутый изоморфизм.

Явно связка тягачей может быть представлена ​​в данной аффинной диаграмме парами $(\mu ^{i}\ \rho )$, где связь $$\nabla _{j}{\begin{bmatrix}\mu ^{i}\\\rho \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla _{j}\mu ^{i}+\delta _{j}^{i}\rho \\\nabla _{j}\rho -P_{ij}\mu ^{i}\end{bmatrix}}$$где $P_{ij}$ — проективный тензор Схоутена. Предпочтительный подпакет ${\mathcal {X}}$ это охватывает $X=(0\ 1)$.

Здесь проективный тензор Схоутена аффинной связности определяется следующим образом. Определим тензор Римана обычным способом (индексы абстрактны) $$(\nabla _{i}\nabla _{j}-\nabla _{j}\nabla _{i})U^{\ell }={R_{ijk}}^{\ell }U^{k}.$$Затем $${R_{ijk}}^{\ell }={C_{ijk}}^{\ell }+2\delta _{[i}^{\ell }P_{j]k}+\beta _{ij}\delta _{k}^{\ell }$$где тензор Вейля ${C_{ijk}}^{\ell }$ не имеет следов и $2P_{[ij]}=-\beta _{ij}$ (Бьянки).