Тензор Схоутена

В римановой геометрии тензор Схоутена второго порядка — это тензор , введенный Яном Арнольдусом Схоутеном и определяемый для n ≥ 3 следующим образом:

$P={\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {R}{2(n-1)}}g\right)\,\Leftrightarrow \mathrm {Ric} =(n-2)P+Jg\,,$

где Ric — тензор Риччи (определяемый сжатием первого и третьего индексов тензора Римана), R — скалярная кривизна , g — риманова метрика , $J={\frac {1}{2(n-1)}}R$ — след P , а n — размерность многообразия.

Тензор Вейля равен тензору кривизны Римана минус произведение Кулкарни – Номизу тензора Схоутена с метрикой. В индексной записи

$R_{ijkl}=W_{ijkl}+g_{ik}P_{jl}-g_{jk}P_{il}-g_{il}P_{jk}+g_{jl}P_{ik}\,.$

Тензор Схоутена часто появляется в конформной геометрии из-за его относительно простого закона конформного преобразования.

$g_{ij}\mapsto \Omega ^{2}g_{ij}\Rightarrow P_{ij}\mapsto P_{ij}-\nabla _{i}\Upsilon _{j}+\Upsilon _{i}\Upsilon _{j}-{\frac {1}{2}}\Upsilon _{k}\Upsilon ^{k}g_{ij}\,,$

где $\Upsilon _{i}:=\Omega ^{-1}\partial _{i}\Omega \,.$

Дальнейшее чтение

• Артур Л. Бесс, Многообразия Эйнштейна . Springer-Verlag, 2007. См. главу 1 §J «Конформные изменения римановых метрик».
• Спирос Алексакис, Разложение глобальных конформных инвариантов . Princeton University Press, 2012. Глава 2, в сноске отмечается, что тензор Схоутена представляет собой «тензор Риччи с поправкой на след» и может рассматриваться как «по сути тензор Риччи».
• Вольфганг Кюнель и Ханс-Берт Радемахер, «Конформные диффеоморфизмы, сохраняющие тензор Риччи», Proc. амер. Математика. Соц. 123 (1995), вып. 9, 2841–2848. Электронная электронная версия (pdf).
• Т. Бэйли, М. Г. Иствуд и А. Р. Говер, «Пакет структур Томаса для конформных, проективных и родственных структур», Rocky Mountain Journal of Mathematics, vol. 24, номер 4, 1191–1217.

См. также

• Теорема Вейля – Схоутена
• Тензор хлопка