Тензор хлопка

В дифференциальной геометрии тензор Коттона на (псевдо) -римановом многообразии размерности n третьего порядка, является тензором сопутствующим метрике . Обращение в нуль тензора Коттона при n = 3 является необходимым и достаточным условием того, чтобы многообразие было локально конформно плоским . Напротив, в размерностях n ≥ 4 ,обращение в нуль тензора Коттона необходимо, но недостаточно для того, чтобы метрика была конформно плоской; вместо этого соответствующим необходимым и достаточным условием в этих более высоких измерениях является исчезновение тензора Вейля , в то время как тензор Коттона просто становится постоянным, умноженным на расходимость тензора Вейля. При n < 3 тензор Коттона тождественно равен нулю. Концепция названа в честь Эмиля Коттона .

Доказательство классического результата о том, что при n = 3 обращение в нуль тензора Коттона эквивалентно конформно плоской метрике, дано Эйзенхартом с использованием стандартного аргумента интегрируемости . Эта тензорная плотность уникально характеризуется своими конформными свойствами в сочетании с требованием ее дифференцируемости для произвольных метрик, как показано ( Aldersley 1979 ).

В последнее время изучение трехмерных пространств приобретает большой интерес, поскольку тензор Коттона ограничивает связь между тензором Риччи и тензором энергии-импульса материи в уравнениях Эйнштейна и играет важную роль в гамильтоновом формализме общей теории относительности. .

Определение

В координатах, обозначая тензор Риччи через R _ij и скалярную кривизну через R , компоненты тензора Коттона равны

$C_{ijk}=\nabla _{k}R_{ij}-\nabla _{j}R_{ik}+{\frac {1}{2(n-1)}}\left(\nabla _{j}Rg_{ik}-\nabla _{k}Rg_{ij}\right).$

Тензор Коттона можно рассматривать как векторную 2-форму со значением , и для n = 3 можно использовать оператор звезды Ходжа, чтобы преобразовать его в плотность тензора без следов второго порядка.

$C_{i}^{j}=\nabla _{k}\left(R_{li}-{\frac {1}{4}}Rg_{li}\right)\epsilon ^{klj},$

иногда называемый Коттона - Йорка тензором .

Характеристики

Конформное масштабирование

При конформном перемасштабировании метрики ${\tilde {g}}=e^{2\omega }g$ для некоторой скалярной функции $\omega$. Мы видим, что символы Кристоффеля преобразуются как

${\widetilde {\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }+S_{\beta \gamma }^{\alpha }$

где $S_{\beta \gamma }^{\alpha }$ это тензор

$S_{\beta \gamma }^{\alpha }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\partial _{\beta }\omega +\delta _{\beta }^{\alpha }\partial _{\gamma }\omega -g_{\beta \gamma }\partial ^{\alpha }\omega$

Тензор кривизны Римана преобразуется как

${{\widetilde {R}}^{\lambda }}{}_{\mu \alpha \beta }={R^{\lambda }}_{\mu \alpha \beta }+\nabla _{\alpha }S_{\beta \mu }^{\lambda }-\nabla _{\beta }S_{\alpha \mu }^{\lambda }+S_{\alpha \rho }^{\lambda }S_{\beta \mu }^{\rho }-S_{\beta \rho }^{\lambda }S_{\alpha \mu }^{\rho }$

В $n$-мерных многообразий, мы получаем тензор Риччи , сжимая преобразованный тензор Римана, чтобы увидеть его преобразование как

${\widetilde {R}}_{\beta \mu }=R_{\beta \mu }-g_{\beta \mu }\nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\omega -(n-2)\nabla _{\mu }\partial _{\beta }\omega +(n-2)(\partial _{\mu }\omega \partial _{\beta }\omega -g_{\beta \mu }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega )$

Аналогично скаляр Риччи преобразуется как

${\widetilde {R}}=e^{-2\omega }R-2e^{-2\omega }(n-1)\nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\omega -(n-2)(n-1)e^{-2\omega }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega$

Объединение всех этих фактов позволяет нам заключить, что тензорные преобразования Коттона-Йорка имеют вид

${\widetilde {C}}_{\alpha \beta \gamma }=C_{\alpha \beta \gamma }+(n-2)\partial _{\lambda }\omega {W_{\beta \gamma \alpha }}^{\lambda }$

или используя координатно-независимый язык как

${\tilde {C}}=C\;+(n-2)\;\operatorname {grad} \,\omega \;\lrcorner \;W,$

градиент сжимается с помощью тензора Вейля   W. где

Симметрии

Тензор Коттона имеет следующие симметрии:

$C_{ijk}=-C_{ikj}\,$

и поэтому

$C_{[ijk]}=0.\,$

Кроме того, формулу Бьянки для тензора Вейля можно переписать в виде

$\delta W=(3-n)C,\,$

где $\delta$ – положительная дивергенция первой компоненты W .

Ссылки

• Олдерсли, SJ (1979). «Комментарии к некоторым бездивергентным тензорным плотностям в трехмерном пространстве» . Журнал математической физики . 20 (9): 1905–1907. Бибкод : 1979JMP....20.1905A . дои : 10.1063/1.524289 .
• Шоке-Брюа, Ивонн (2009). Общая теория относительности и уравнения Эйнштейна . Оксфорд, Англия: Издательство Оксфордского университета . ISBN  978-0-19-923072-3 .
• Коттон, Э. (1899). «О трехмерных многообразиях» . Анналы факультета наук Тулузы . II. 1 (4): 385–438. Архивировано из оригинала 10 октября 2007 г.
• Эйзенхарт, Лютер П. (1977) [1925]. Риманова геометрия . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN  0-691-08026-7 .
• А. Гарсия, Ф. В. Хель, К. Хейнике, А. Масиас (2004) «Тензор Коттона в римановом пространстве-времени», Classical and Quantum Gravity 21: 1099–1118, Eprint arXiv:gr-qc/0309008