Конформно плоское многообразие

Верхний коллектор плоский. Нижний нет, но он конформен первому

( Псевдо- ) риманово многообразие конформно плоское, если каждая точка имеет окрестность, которую можно отобразить в плоское пространство конформным преобразованием .

На практике метрика $g$ многообразия $M$ должно быть конформно плоской метрике $\eta$, т. е. геодезические сохраняются во всех точках $M$ углы, перемещаясь от одного к другому, а также сохраняя нулевую геодезическую неизменной, это означает, что существует функция $\lambda (x)$ такой, что $g(x)=\lambda ^{2}(x)\,\eta$, где $\lambda (x)$ известен как конформный фактор и $x$ является точкой многообразия.

Более формально, пусть $(M,g)$ — псевдориманово многообразие. Затем $(M,g)$ конформно плоская, если для каждой точки $x$ в $M$, существует окрестность $U$ из $x$ и плавная функция $f$ определено на $U$ такой, что $(U,e^{2f}g)$ плоская ​ ( кривизна т.е. $e^{2f}g$ исчезает на $U$). Функция $f$ не обязательно определять все $M$.

Некоторые авторы используют определение локально конформно плоского , когда речь идет лишь о некоторой точке. $x$ на $M$ и оставим определение конформно плоского для случая, когда отношение справедливо для всех $x$ на $M$.

Примеры

• Каждое многообразие с постоянной кривизной сечения конформно плоское.
• Каждое двумерное псевдориманово многообразие конформно плоское.
  • Линейный элемент двумерных сферических координат, подобный тому, который используется в географической системе координат ,

  $ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,$, имеет метрический тензор $g_{ik}={\begin{bmatrix}1&0\\0&sin^{2}\theta \end{bmatrix}}$ и не является плоским, но с помощью стереографической проекции может быть отображен на плоское пространство с использованием конформного фактора. $2 \over (1+r^{2})$, где $r$ расстояние от начала плоского пространства, получение

  $ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,={\frac {4}{(1+r^{2})^{2}}}(dx^{2}+dy^{2})$.

• Трехмерное псевдориманово многообразие конформно плоско тогда и только тогда, когда тензор Коттона обращается в нуль.
• n -мерное псевдориманово многообразие при n ≥ 4 конформно плоское тогда и только тогда, когда тензор Вейля обращается в нуль.
• Всякое компактное односвязное конформно евклидово риманово многообразие конформно эквивалентно круглой сфере .

• Стереографическая проекция обеспечивает систему координат сферы, в которой явна конформная плоскость, поскольку метрика пропорциональна плоской.

• В общей теории относительности часто можно использовать конформно плоские многообразия, например, для описания метрики Фридмана – Леметра – Робертсона – Уокера . Однако было также показано, что не существует конформно плоских срезов керровского пространства-времени .

Например, координаты Крускала-Секереша имеют линейный элемент

$ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dv\,du$ с метрическим тензором $g_{ik}={\begin{bmatrix}0&1-{\frac {2GM}{r}}\\1-{\frac {2GM}{r}}&0\end{bmatrix}}$ и поэтому не плоский. Но с преобразованиями $t=(v+u)/2$ и $x=(v-u)/2$

становится

$ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)(dt^{2}-dx^{2})$ с метрическим тензором $g_{ik}={\begin{bmatrix}1-{\frac {2GM}{r}}&0\\0&-1+{\frac {2GM}{r}}\end{bmatrix}}$,

что представляет собой произведение плоской метрики на конформный коэффициент $1-{\frac {2GM}{r}}$.

См. также

• Теорема Вейля – Схоутена
• конформная геометрия
• К сожалению, проблема