Спиновая структура

В дифференциальной геометрии спиновая структура на ориентируемом римановом многообразии ( M , g ) позволяет определить ассоциированные спинорные расслоения , что приводит к появлению понятия спинора в дифференциальной геометрии.

Спиновые структуры имеют широкое применение в математической физике , в частности в квантовой теории поля , где они являются важным компонентом определения любой теории с незаряженными фермионами . Они представляют также чисто математический интерес в дифференциальной геометрии , алгебраической топологии и теории К. Они составляют основу спиновой геометрии .

Обзор

В геометрии и теории поля математики задаются вопросом, допускает ли данное ориентированное риманово многообразие ( M , g ) спиноры . Один из способов решения этой проблемы — потребовать, чтобы M имело спиновую структуру. Это не всегда возможно, поскольку потенциально существует топологическое препятствие существованию спиновых структур. Спиновые структуры будут существовать тогда и только тогда, когда второй класс Стифеля–Уитни w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) из M исчезает. Более того, если w ₂ ( M ) = 0, то на множество классов изоморфизма спиновых структур на M свободно и транзитивно действует H ¹ ( М , Z ₂ ) . Поскольку многообразие M предполагается ориентированным, первый класс Стифеля–Уитни w ₁ ( M ) ∈ H ¹ ( M , Z ₂ ) из M также исчезает. (Классы Штифеля–Уитни w _i ( M ) ∈ H ^я ( M , Z ₂ ) многообразия M определяются как классы Стифеля–Уитни его касательного расслоения TM .)

расслоение спиноров π _S : S → M над M Тогда является комплексным векторным расслоением , связанным с соответствующим главным расслоением π _P : P → M спиновых реперов над M и спиновым представлением его структурной группы Spin( n ) в пространстве спиноров Δ _n . Расслоение S называется спинорным расслоением для данной спиновой структуры на M .

понятия расслоения Точное определение спиновой структуры на многообразии стало возможным только после введения ; Андре Хэфлигер (1956) обнаружил топологическое препятствие существованию спиновой структуры на ориентируемом римановом многообразии, а Макс Каруби (1968) распространил этот результат на неориентируемый псевдориманов случай.

Спиновые структуры на римановых многообразиях

Определение

Спиновая структура на ориентируемом римановом многообразии $(M,g)$ с ориентированным векторным расслоением $E$ является эквивариантным подъемом расслоения ортонормированных реперов $P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M$ относительно двойного покрытия $\rho :\operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)$. Другими словами, пара $(P_{\operatorname {Spin} },\phi )$ представляет собой спиновую структуру на SO( n )-главном расслоении $\pi :P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M$ когда

а) $\pi _{P}:P_{\operatorname {Spin} }\rightarrow M$ является главным Spin( n )-расслоением над $M$, и

б) $\phi :P_{\operatorname {Spin} }\rightarrow P_{\operatorname {SO} }(E)$ — эквивариантное 2-кратное накрывающее отображение такое, что

$\pi \circ \phi =\pi _{P}\quad$и $\quad \phi (pq)=\phi (p)\rho (q)\quad$для всех $p\in P_{\operatorname {Spin} }$ и $q\in \operatorname {Spin} (n)$.

Две спиновые структуры $(P_{1},\phi _{1})$ и $(P_{2},\phi _{2})$ на одном и том же ориентированном римановом многообразии называются «эквивалентными», если существует Spin( n )-эквивариантное отображение $f:P_{1}\rightarrow P_{2}$ такой, что

$\phi _{2}\circ f=\phi _{1}\quad$ и $\quad f(pq)=f(p)q\quad$ для всех $p\in P_{1}$ и $q\in \operatorname {Spin} (n)$.

В этом случае $\phi _{1}$ и $\phi _{2}$ являются двумя эквивалентными двойными покрытиями.

Определение спиновой структуры на $(M,g)$ как спиновая структура на главном расслоении $P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M$ принадлежит Андре Хефлигеру (1956).

Препятствие

Хефлигер нашел необходимые и достаточные условия существования спиновой структуры на ориентированном римановом многообразии ( M , g ). Препятствием для спиновой структуры является некий элемент [ k ] из H ² ( М , Z ₂ ) . Для спиновой структуры класс [ k ] — это второй класс Стифеля–Уитни w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) из M . Следовательно, спиновая структура существует тогда и только тогда, когда второй класс Стифеля–Уитни w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) из M исчезает.

Спиновые структуры на векторных расслоениях

Пусть M — паракомпактное топологическое многообразие , а E векторное — ориентированное расслоение на M размерности n, снабженное слоеной метрикой . Это означает, что в каждой точке M слой E является пространством внутреннего продукта . Спинорное расслоение E это рецепт последовательного сопоставления спинового представления каждой точке M. — Существуют топологические препятствия для того, чтобы это сделать, и, следовательно, данное расслоение E не может допускать ни одного спинорного расслоения. В этом случае говорят, что расслоение E имеет спин .

Это можно сделать строгим с помощью языка главных расслоений . Совокупность ориентированных ортонормированных фреймов векторного расслоения образует расслоение фреймов P _SO ( E ), которое является главным расслоением под действием специальной ортогональной группы SO( n ). Спиновая структура для P _SO ( E ) — это подъем P ) _SO ( E ) до главного расслоения P _Spin ( E ) под действием спиновой группы Spin( n , под которым мы подразумеваем, что существует отображение расслоения $\phi$ : P _Spin ( E ) → P _SO ( E ) такой, что

$\phi (pg)=\phi (p)\rho (g)$, для всех p ∈ P _Spin ( E ) и g ∈ Spin( n ) ,

где ρ : Spin( n ) → SO( n ) — отображение групп, представляющее спиновую группу как двойное накрытие SO( n ).

В частном случае, когда E является касательным расслоением TM над базовым многообразием M , если спиновая структура существует, то говорят, что M является спиновым многообразием . Эквивалентно, M является спином SO( n , если главный расслоение ) ортонормированных базисов касательных слоев M является фактором Z ₂ главного спинового расслоения.

Если многообразие имеет клеточное разложение или триангуляцию , спиновую структуру можно эквивалентно рассматривать как гомотопический класс тривиализации касательного расслоения над 1- скелетом , который продолжается над 2-скелетом. Если размерность меньше 3, сначала берут сумму Уитни с тривиальным линейным расслоением.

Препятствие и классификация

Для ориентируемого векторного расслоения $\pi _{E}:E\to M$ спиновая структура существует на $E$ тогда и только тогда, когда второй класс Штифеля–Уитни $w_{2}(E)$ исчезает. Это результат Армана Бореля и Фридриха Хирцебруха . Кроме того, в случае $E\to M$ является спином, количество спиновых структур находится в биекции с $H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)$. Эти результаты легко доказать ^{стр. 110-111} использование аргумента спектральной последовательности для связанного принципала $\operatorname {SO} (n)$-пучок $P_{E}\to M$. Обратите внимание, что это дает расслоение

$\operatorname {SO} (n)\to P_{E}\to M$

следовательно, спектральную последовательность Серра можно применить . Из общей теории спектральных последовательностей существует точная последовательность

$0\to E_{3}^{0,1}\to E_{2}^{0,1}\xrightarrow {d_{2}} E_{2}^{2,0}\to E_{3}^{2,0}\to 0$

где

${\begin{aligned}E_{2}^{0,1}&=H^{0}(M,H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2))=H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)\\E_{2}^{2,0}&=H^{2}(M,H^{0}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2))=H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)\end{aligned}}$

Кроме того, $E_{\infty }^{0,1}=E_{3}^{0,1}$ и $E_{\infty }^{0,1}=H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)/F^{1}(H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2))$ для некоторой фильтрации $H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)$, следовательно, мы получаем карту

$H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to E_{3}^{0,1}$

давая точную последовательность

$H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)\to H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)$

Теперь спиновая структура — это в точности двойное накрытие $P_{E}$ вписывание в коммутативную диаграмму

${\begin{matrix}\operatorname {Spin} (n)&\to &{\tilde {P}}_{E}&\to &M\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {SO} (n)&\to &P_{E}&\to &M\end{matrix}}$

где две левые вертикальные карты являются картами двойного покрытия. Теперь двойные покрытия $P_{E}$ находятся в биекции с индексом $2$ подгруппы $\pi _{1}(P_{E})$, который находится в биекции с множеством групповых морфизмов ${\text{Hom}}(\pi _{1}(E),\mathbb {Z} /2)$. Но, исходя из теоремы Гуревича и замены коэффициентов, это именно группа когомологий $H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)$. Применяя тот же аргумент к $\operatorname {SO} (n)$, нетривиальное накрытие $\operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)$ соответствует $1\in H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)=\mathbb {Z} /2$, и карта для $H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)$ это именно $w_{2}$ второго класса Штифеля–Уитни, следовательно, $w_{2}(1)=w_{2}(E)$. Если оно исчезает, то прообраз $1$ под картой

$H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)$

представляет собой набор двойных накрытий, дающих спиновые структуры. Теперь это подмножество $H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)$ можно отождествить с $H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)$, показывая, что эта последняя группа когомологий классифицирует различные спиновые структуры векторного расслоения $E\to M$. Это можно сделать, рассмотрев длинную точную последовательность гомотопических групп расслоения

$\pi _{1}(\operatorname {SO} (n))\to \pi _{1}(P_{E})\to \pi _{1}(M)\to 1$

и применение ${\text{Hom}}(-,\mathbb {Z} /2)$, задающий последовательность групп когомологий

$0\to H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)$

Потому что $H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)$ является ядром и прообразом $1\in H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)$ находится в биекции с ядром, мы получаем желаемый результат.

Замечания по классификации

Когда спиновые структуры существуют, неэквивалентные спиновые структуры на многообразии имеют взаимно однозначное соответствие (не каноническое) с элементами из H. ¹ ( M , Z ₂ ), который по теореме об универсальных коэффициентах изоморфен H ₁ ( M , Z ₂ ). Точнее, пространство классов изоморфизма спиновых структур является аффинным пространством над H ¹ ( М , Z ₂ ).

Интуитивно понятно, что для каждого нетривиального цикла на M спиновая структура соответствует двоичному выбору того, переключает ли часть расслоения SO( N ) листы, когда кто-то окружает цикл. Если ш ₂ исчезает, то эти варианты выбора можно распространить на двухскелетон , затем (по теории препятствий ) они могут автоматически распространиться на все M. а В физике элементарных частиц это соответствует выбору периодических или антипериодических граничных условий для фермионов, обходящих каждую петлю. Заметим, что на комплексном многообразии $X$ второй класс Стифеля-Уитни можно вычислить как первый класс Черна ${\text{mod }}2$.

Примеры

1. рода g Риманова поверхность допускает 2 ^{2 г} неэквивалентные спиновые структуры; см. тэта-характеристику .
2. Если Ч ² ( M , Z ₂ ) исчезает, M является спином . Например, С ^н это спин для всех $n\neq 2$. (Обратите внимание, что С. ² тоже спин , но по другим причинам; см. ниже.)
3. Комплексная проективная плоскость CP ² не спин .
4. В более общем смысле, все четномерные комплексные проективные пространства CP ^22н не вращаются .
5. Все нечетномерные комплексные проективные пространства CP ²ⁿ⁺¹ вращаются ​ .
6. Все компактные ориентируемые многообразия размерности 3 или меньше являются спиновыми .
7. Все многообразия Калаби–Яу имеют спин .

Характеристики

• спинового Â Род многообразия является целым числом и четным числом, если, кроме того, размерность равна 4 по модулю 8.

  В общем случае род Â является рациональным инвариантом, определенным для любого многообразия, но, вообще говоря, не является целым числом.

  Первоначально это было доказано Хирцебрухом и Борелем , и может быть доказано с помощью теоремы об индексе Атьи-Зингера , реализуя род Â как индекс оператора Дирака - оператор Дирака представляет собой квадратный корень из оператора второго порядка и существует благодаря спиновая структура представляет собой «квадратный корень». Это был мотивирующий пример для теоремы об индексе.

Вращаться ^С структуры

Вращение ^С структура аналогична спиновой структуре на ориентированном римановом многообразии , но использует Spin ^С группа, которая вместо этого определяется точной последовательностью

$1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.$

Чтобы мотивировать это, предположим, что κ : Spin( n ) → U( N ) — комплексное спинорное представление. Центр U( N ) состоит из диагональных элементов, происходящих из включения i : U(1) → U( N ) , т. е. скалярных кратных единицы. Таким образом, существует гомоморфизм

$\kappa \times i\colon {\mathrm {Spin} }(n)\times {\mathrm {U} }(1)\to {\mathrm {U} }(N).$

В ядре всегда будет элемент (−1,−1). Факторное по модулю этого элемента дает группу Spin ^С ( н ). Это испорченный продукт

${\mathrm {Spin} }^{\mathbb {C} }(n)={\mathrm {Spin} }(n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}{\mathrm {U} }(1)\,,$

где U(1) = SO(2) = S ¹ . Другими словами, группа Spin ^С ( n ) является центральным расширением SO( n ) с помощью S ¹ .

С другой стороны, Spin ^С ( n ) — фактор-группа, полученная из Spin( n ) × Spin(2) по нормали Z ₂ , которая порождается парой накрывающих преобразований для расслоений Spin( n ) → SO( n ) и Spin(2 ) → SO(2) соответственно. Это делает вращение ^С сгруппируйте как расслоение над окружностью со слоем Spin( n ), так и расслоение над SO( n ) со слоем a окружность.

Фундаментальная группа π ₁ (Spin ^С ( n )) изоморфен Z, если n ≠ 2, и Z ⊕ Z, если n = 2.

Если многообразие имеет клеточное разложение или триангуляцию , спин ^С Структуру можно эквивалентно рассматривать как гомотопический класс сложной структуры над 2- скелетом , который простирается над 3-скелетом. Как и в случае со спиновыми структурами, берется сумма Уитни с тривиальным линейным расслоением, если многообразие нечетномерно.

Еще одно определение состоит в том, что спин ^С структура на многообразии N — это комплексное линейное расслоение L над N вместе со спиновой структурой на T N ⊕ L .

Препятствие

Вращение ^С структура существует, когда расслоение ориентируемо и второй класс Стифеля–Уитни расслоения E находится в образе отображения H ² ( М , Z ) → ЧАС ² ( M , Z /2 Z ) (другими словами, третий целочисленный класс Стифеля–Уитни обращается в нуль). В этом случае говорят, что E является спином. ^С . Интуитивно понятно, что подъем дает класс Черна квадрата U(1)-части любого полученного спина ^С пучок.По теореме Хопфа и Хирцебруха замкнутые ориентируемые 4-многообразия всегда допускают спин ^С структура.

Классификация

Когда многообразие несет спин ^С структура вообще, набор спинов ^С структуры образуют аффинное пространство. Более того, набор спинов ^С структур имеет свободное транзитивное действие H ² ( М , З ) . Таким образом, спин ^С -структуры соответствуют элементам H ² ( M , Z ) , хотя и не естественным образом.

Геометрическая картина

Это имеет следующую геометрическую интерпретацию, принадлежащую Эдварду Виттену . Когда вращение ^С структура не равна нулю, этот расслоение с квадратным корнем имеет нецелый класс Чженя, что означает, что он не удовлетворяет условию тройного перекрытия . В частности, произведение функций перехода на трехстороннем пересечении не всегда равно единице, как это требуется для главного расслоения . Вместо этого иногда это -1.

Этот сбой происходит точно в тех же пересечениях, что и тождественный сбой в тройных произведениях переходных функций затрудненного спинового пучка . Следовательно, тройные произведения переходных функций полного спина ^с расслоения, которые являются произведениями тройного произведения расслоений компонентов спина и U(1), равны либо 1 ² = 1 или (−1) ² = 1 и, следовательно, спин ^С пакет удовлетворяет условию тройного перекрытия и, следовательно, является допустимым пакетом.

Подробности

Приведенную выше интуитивную геометрическую картину можно конкретизировать следующим образом. Рассмотрим короткую точную последовательность 0 → Z → Z → Z ₂ → 0 , где вторая стрелка — это умножение на 2, а третья — приведение по модулю 2. Это индуцирует длинную точную последовательность на когомологиях, которая содержит

$\dots \longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} ){\stackrel {2}{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} _{2}){\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{3}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow \dots ,$

где вторая стрелка индуцируется умножением на 2, третья индуцируется ограничением по модулю 2, а четвертая представляет собой ассоциированный гомоморфизм Бокштейна β .

Препятствием существованию спинового расслоения является элемент w ₂ из H ² ( М , Z ₂ ) . Это отражает тот факт, что всегда можно локально поднять расслоение SO(n) до спинового расслоения, но необходимо выбрать подъем Z ₂ для каждой переходной функции, что является выбором знака. Подъема не существует, когда произведение этих трех знаков в тройном перекрытии равно −1, что дает картину когомологий Чеха для w ₂ .

Чтобы устранить это препятствие, нужно тензорировать это спиновое расслоение с помощью U(1)-расслоения с тем же препятствием w ₂ . Обратите внимание, что это злоупотребление словом « расслоение» , поскольку ни спиновое расслоение, ни расслоение U(1) не удовлетворяют условию тройного перекрытия, и поэтому ни одно из них на самом деле не является расслоением.

Законный расслоение U(1) классифицируется по классу Чженя , который является элементом H ² ( М , З ). Идентифицируйте этот класс с первым элементом в точной последовательности, указанной выше. Следующая стрелка удваивает этот класс Черна, и поэтому допустимые расслоения будут соответствовать четным элементам во втором H. ² ( M , Z ) , а нечетные элементы будут соответствовать пучкам, которые не удовлетворяют условию тройного перекрытия. Препятствие тогда классифицируется по отказу элемента во втором H ² ( M , Z ) находиться в образе стрелки, которая по точности классифицируется по своему образу в H ² ( M , Z ₂ ) под следующей стрелкой.

Чтобы устранить соответствующее препятствие в спиновом пучке, это изображение должно быть w ₂ . В частности, если w ₂ не входит в образ стрелки, то не существует расслоения U(1) с препятствием, равным w _2, и поэтому препятствие нельзя устранить. По точности w2 _{гомоморфизмом} находится в образе предыдущей стрелки только в том случае, если она находится в ядре следующей стрелки, которая, как мы напомним, является Бокштейна β. То есть условие устранения препятствия

$W_{3}=\beta w_{2}=0$

где мы воспользовались тем, что третий целочисленный класс Штифеля–Уитни W ₃ является Бокштейном второго класса Штифеля–Уитни w ₂ (это можно принять за определение W ₃ ).

Интегральные лифты классов Штифеля – Уитни.

Этот аргумент также показывает, что второй класс Стифеля–Уитни определяет элементы не только когомологий Z ₂ , но и целых когомологий еще одной более высокой степени. Фактически это справедливо для всех даже классов Стифеля–Уитни. Традиционно используется прописная буква W для получившихся классов нечетной степени, которые называются целыми классами Стифеля – Уитни, и обозначаются их степенью (которая всегда нечетна).

Примеры

1. Все ориентированные гладкие многообразия размерности 4 или меньше являются спиновыми. ^С .
2. Все почти комплексные многообразия являются спиновыми. ^С .
3. Все спиновые многообразия являются спиновыми. ^С .

Приложение к физике элементарных частиц

В физике элементарных частиц теорема о спин-статистике подразумевает, что волновая функция незаряженного фермиона представляет собой сечение соответствующего векторного расслоения, связанного со спиновым лифтом расслоения SO( N ) E . Следовательно, выбор спиновой структуры является частью данных, необходимых для определения волновой функции, и часто необходимо суммировать эти варианты в статистической сумме . Во многих физических теориях E является касательным расслоением , но для фермионов в мировых объёмах D-бран в теории струн это нормальное расслоение .

В квантовой теории поля заряженные спиноры представляют собой участки ассоциированного спина. ^с расслоения, и, в частности, никакие заряженные спиноры не могут существовать в пространстве, не являющемся спиновым. ^с . Исключение составляют некоторые теории супергравитации , где дополнительные взаимодействия подразумевают, что другие поля могут отменить третий класс Стифеля – Уитни. Математическое описание спиноров в супергравитации и теории струн представляет собой особенно тонкую открытую проблему, которая недавно рассматривалась в литературе. Оказывается, стандартное понятие спиновой структуры слишком ограничено для приложений к супергравитации и теории струн, и что правильным понятием спинорной структуры для математической формулировки этих теорий является «липшицева структура».

См. также

• Метаплектическая структура
• Пакет ортонормированных рамок
• Спинор

Дальнейшее чтение

• Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Издательство Принстонского университета . ISBN  978-0-691-08542-5 .
• Фридрих, Томас (2000). Операторы Дирака в римановой геометрии . Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-2055-1 .
• Каруби, Макс (2008). К-теория . Спрингер. стр. 212–214. ISBN  978-3-540-79889-7 .
• Греуб, Вернер; Петри, Герберт-Райнер (2006) [1978]. «О подъеме структурных групп» . Дифференциальные геометрические методы в математической физике II . Конспект лекций по математике. Том. 676. Шпрингер-Верлаг. стр. 217–246. дои : 10.1007/BFb0063673 . ISBN  9783540357216 .
• Скорпан, Александру (2005). «4.5 Примечания Спиновые структуры, определение группы структур; Эквивалентность определений» . Дикий мир 4-многообразий . Американское математическое общество. стр. 174–189. ISBN  9780821837498 .

Внешние ссылки

• Кое-что о спиновых структурах от Свена-С. Порст — это краткое введение в структуры ориентации и вращения для студентов-математиков.