Метрика пакета

В дифференциальной геометрии понятие метрического тензора может быть распространено на произвольное векторное расслоение и на некоторые основные расслоения . Эту метрику часто называют метрикой расслоения или метрикой слоя .

Определение

Если M — топологическое многообразие и $π$ : E → M — векторное расслоение на M , то метрика на E — это отображение расслоения k : E × _M E → M × R из произведения E послойного с самим собой в тривиальное расслоение с слой R такой, что ограничение k на каждый слой над M является невырожденным билинейным отображением векторных пространств . ^{[ 1 ]} Грубо говоря, k дает своего рода скалярное произведение симметричное или положительно определенное) в векторном пространстве над каждой точкой M , и эти произведения плавно изменяются по M. (не обязательно

Характеристики

Каждое векторное расслоение с паракомпактным базовым пространством можно снабдить метрикой расслоения. ^{[ 1 ]} Для векторного расслоения ранга n это следует из карт расслоений $\phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbb {R} ^{n}$ : метрику пакета можно рассматривать как обратный результат внутреннего продукта метрики на $\mathbb {R} ^{n}$ ; например, ортонормированные карты евклидова пространства. Структурной группой такой метрики является ортогональная группа O ( n ).

Пример: метрика Римана

Если M — риманово многообразие , а E — его касательное расслоение TM , то риманова метрика дает метрику расслоения, и наоборот. ^{[ 1 ]}

Пример: на вертикальных связках

Если расслоение $π$ : P → M — главное расслоение с группой G , а G — компактная группа Ли , то существует Ad( G )-инвариантное скалярное произведение k на слоях, взятое из скалярного произведения на соответствующем слое. компактная алгебра Ли . Точнее, существует метрический тензор k, определенный на вертикальном расслоении E = V P такой, что k инвариантен относительно умножения слева:

k(L_{g*}X,L_{g*}Y)=k(X,Y)

для вертикальных векторов X , Y и L _g — это умножение слева на g вдоль волокна, а L _g* — это прямое умножение . То есть E — векторное расслоение, состоящее из вертикального подпространства касательной к главному расслоению.

В более общем смысле, всякий раз, когда у вас есть компактная группа с мерой Хаара µ и произвольный скалярный продукт h(X,Y), определенный в касательном пространстве некоторой точки в G , можно определить инвариантную метрику, просто усредняя по всей группе, т.е. путем определения

k(X,Y)=\int _{G}h(L_{g*}X,L_{g*}Y)d\mu _{g}

как средний.

Вышеупомянутое понятие можно распространить на связанный пакет $P\times _{G}V$ где V векторное пространство, ковариантно преобразующееся при представлении G. некотором —

По отношению к теории Калуцы – Клейна

Если базовое пространство M также является метрическим пространством с метрикой g , а главное расслоение наделено формой связности ω, то $π$ ^*g+kω — метрика, определенная на всем касательном расслоении E = T P . ^{[ 2 ]}

Точнее, пишут $π$ ^*g( X , Y ) = g ( $π$ _* X , $π$ _* Y ) где $π$ _* — это π проекция $,$ а — метрический тензор в базовом пространстве M. g Выражение kω следует понимать как ( kω )( X , Y ) = k ( ω ( X ), ω ( Y )), где k — метрический тензор на каждом слое. Здесь X и Y — элементы касательного пространства T P .

Заметим, что лифт $π$ ^*g обращается в нуль на вертикальном подпространстве T V (поскольку $π$ _* обращается в нуль на вертикальных векторах), а kω обращается в нуль на горизонтальном подпространстве T H (поскольку горизонтальное подпространство определяется как та часть касательного пространства T P, на которой связь ω обращается в нуль) . Поскольку общее касательное пространство расслоения является прямой суммой вертикального и горизонтального подпространств (т. е. TP = T V ⊕ T H ), эта метрика корректно определена на всем расслоении.

Эта метрика расслоения лежит в основе обобщенной формы теории Калуцы–Клейна благодаря нескольким интересным свойствам, которыми она обладает. Скалярная кривизна , полученная из этой метрики, постоянна на каждом волокне: ^{[ 2 ]} это следует из Ad( G )-инвариантности слоеной метрики k . Скалярную кривизну пучка можно разложить на три отдельные части:

р _E знак равно р _M ( г ) + L ( г , ω) + р _г ( k )

где R _E — скалярная кривизна расслоения в целом (полученная из метрики $π$ ^*g+kω выше), а R _M ( g ) — скалярная кривизна на базовом многообразии M ( плотность Лагранжа действия Эйнштейна–Гильберта ), а L ( g , ω) — плотность Лагранжа для действия Янга–Миллса , а R _G ( k ) — скалярная кривизна на каждом слое (полученная из метрики слоя k и постоянная из-за Ad( G )-инвариантности метрики k ). Аргументы означают, что ( _RM g ) зависит только от метрики g на базовом многообразии, но не от ω или k , и аналогично, что ( _RM k ) зависит только от k , а не от g или ω, и так: на.

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Йост, Юрген (2011), Риманова геометрия и геометрический анализ , Universitext (шестое изд.), Springer, Heidelberg, стр. 46, номер домена : 10.1007/978-3-642-21298-7 , ISBN 978-3-642-21297-0 , МР 2829653 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Дэвид Бликер, « Калибровочная теория и вариационные принципы , архивировано 9 июля 2021 г. в Wayback Machine » (1982), D. Reidel Publishing (см. главу 9 ).

[jost-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Йост, Юрген (2011), Риманова геометрия и геометрический анализ , Universitext (шестое изд.), Springer, Heidelberg, стр. 46, номер домена : 10.1007/978-3-642-21298-7 , ISBN 978-3-642-21297-0 , МР 2829653 .

[bleecker-2] Перейти обратно: ^а ^б Дэвид Бликер, « Калибровочная теория и вариационные принципы , архивировано 9 июля 2021 г. в Wayback Machine » (1982), D. Reidel Publishing (см. главу 9 ).

[ 1 ]

[ 2 ]