Метаплектическая структура

В дифференциальной геометрии метаплектическая структура является симплектическим аналогом спиновой структуры на ориентируемых римановых многообразиях . Метаплектическая структура на симплектическом многообразии позволяет определить симплектическое спинорное расслоение , которое представляет собой расслоение гильбертова пространства , связанное с метаплектической структурой через метаплектическое представление, что дает начало понятию симплектического спинорного поля в дифференциальной геометрии.

Симплектические спиновые структуры имеют широкое применение в математической физике , в частности в квантовой теории поля , где они являются важным ингредиентом в утверждении идеи о том, что симплектическая спиновая геометрия и симплектические операторы Дирака могут дать ценные инструменты в симплектической геометрии и симплектической топологии. Они представляют также чисто математический интерес в дифференциальной геометрии , алгебраической топологии и теории К. Они составляют основу симплектической спиновой геометрии.

Формальное определение

Метаплектическая структура ^[1] на симплектическом многообразии $(M,\omega )$ является эквивариантным лифтом симплектического расслоения реперов $\pi _{\mathbf {R} }\colon {\mathbf {R} }\to M\,$ относительно двойного покрытия $\rho \colon {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} })\to {\mathrm {Sp} }(n,{\mathbb {R} }).\,$ Другими словами, пара $({\mathbf {P} },F_{\mathbf {P} })$ представляет собой метаплектическую структуру на главном расслоении $\pi _{\mathbf {R} }\colon {\mathbf {R} }\to M\,$ когда

а)

\pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,

является директором

{\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} })

-связывать

M

,

б)

F_{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to {\mathbf {R} }\,

является эквивариантом

2

-сложите покрывающую карту так, что

\pi _{\mathbf {R} }\circ F_{\mathbf {P} }=\pi _{\mathbf {P} }

и

F_{\mathbf {P} }({\mathbf {p} }q)=F_{\mathbf {P} }({\mathbf {p} })\rho (q)

для всех

{\mathbf {p} }\in {\mathbf {P} }

и

q\in {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} }).

Основной пакет $\pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,$ называется также расслоением метаплектических каркасов над $M$ .

Две метаплектические структуры $({\mathbf {P} _{1}},F_{\mathbf {P} _{1}})$ и $({\mathbf {P} _{2}},F_{\mathbf {P} _{2}})$ на том же симплектическом многообразии $(M,\omega )$ называются эквивалентными, если существует ${\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} })$ -эквивариантное отображение $f\colon {\mathbf {P} _{1}}\to {\mathbf {P} _{2}}$ такой, что

F_{\mathbf {P} _{2}}\circ f=F_{\mathbf {P} _{1}}

и

f({\mathbf {p} }q)=f({\mathbf {p} })q

для всех

{\mathbf {p} }\in {\mathbf {P} _{1}}

и

q\in {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} }).

Конечно, в этом случае $F_{\mathbf {P} _{1}}$ и $F_{\mathbf {P} _{2}}$ являются двумя эквивалентными двойными накрытиями симплектического репера ${\mathrm {Sp} }(n,{\mathbb {R} })$ -пучок $\pi _{\mathbf {R} }\colon {\mathbf {R} }\to M\,$ данного симплектического многообразия $(M,\omega )$ .

Препятствие

Поскольку каждое симплектическое многообразие $M$ обязательно четной размерности и ориентируемости , можно доказать, что топологическое препятствие существованию метаплектических структур точно такое же, как и в римановой спиновой геометрии . ^[2] Другими словами, симплектическое многообразие $(M,\omega )$ допускает метаплектические структуры тогда и только тогда, когда второй класс Штифеля-Уитни $w_{2}(M)\in H^{2}(M,{\mathbb {Z} _{2}})$ из $M$ исчезает. Фактически, по модулю $_{2}$ редукция первого класса Черна $c_{1}(M)\in H^{2}(M,{\mathbb {Z} })$ это второй класс Штифеля-Уитни $w_{2}(M)$ . Следовательно, $(M,\omega )$ допускает метаплектические структуры тогда и только тогда, когда $c_{1}(M)$ четно, т. е. тогда и только тогда, когда $w_{2}(M)$ равен нулю.

В этом случае классы изоморфности метаплектических структур на $(M,\omega )$ классифицируются по первой группе когомологий $H^{1}(M,{\mathbb {Z} _{2}})$ из $M$ с ${\mathbb {Z} _{2}}$ -коэффициенты.

Как многообразие $M$ предполагается ориентированным, первый класс Штифеля-Уитни $w_{1}(M)\in H^{1}(M,{\mathbb {Z} _{2}})$ из $M$ тоже исчезает.

Примеры

Многообразия, допускающие метаплектическую структуру

Фазовые пространства $(T^{\ast }N,\theta )\,,$ $N$ любое ориентируемое многообразие.
Сложные проективные пространства ${\mathbb {P} }^{2k+1}{\mathbb {C} }\,,$ $\,k\in {\mathbb {N} }_{0}\,.$ С ${\mathbb {P} }^{2k+1}{\mathbb {C} }\,$ односвязна, такая структура должна быть уникальной.
Грассманиан $Gr(2,4)\,,$ и т. д.