Теорема о монотонном классе

В теории меры и вероятности теорема о монотонных классах соединяет монотонные классы и 𝜎-алгебры . Теорема гласит, что наименьший монотонный класс, содержащий алгебру множеств $G$ это в точности наименьшая 𝜎-алгебра, содержащая $G.$ Он используется как разновидность трансфинитной индукции для доказательства многих других теорем, таких как теорема Фубини .

Определение монотонного класса

А монотонный класс — это семья (т.е. класс) $M$ множеств, замкнутых относительно счетных монотонных объединений, а также счетных монотонных пересечений. Явно это означает $M$ имеет следующие свойства:

1. если $A_{1},A_{2},\ldots \in M$ и $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots$ затем ${\textstyle {\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }}A_{i}\in M,}$ и
2. если $B_{1},B_{2},\ldots \in M$ и $B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq \cdots$ затем ${\textstyle {\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }}B_{i}\in M.}$

Теорема о монотонном классе множеств

Теорема о монотонном классе для множеств . Пусть $G$ быть алгеброй множеств и определить $M(G)$ быть наименьшим монотонным классом, содержащим $G.$ Затем $M(G)$ это в точности 𝜎-алгебра, порожденная $G$; то есть $\sigma (G)=M(G).$

Теорема о монотонном классе функций

Теорема о монотонном классе функций . Пусть ${\mathcal {A}}$ — π -система , содержащая $\Omega \,$ и пусть ${\mathcal {H}}$ быть набором функций из $\Omega$ к $\mathbb {R}$ со следующими свойствами:

1. Если $A\in {\mathcal {A}}$ затем $\mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}$ где $\mathbf {1} _{A}$ обозначает функцию индикаторную $A.$
2. Если $f,g\in {\mathcal {H}}$ и $c\in \mathbb {R}$ затем $f+g$ и $cf\in {\mathcal {H}}.$
3. Если $f_{n}\in {\mathcal {H}}$ представляет собой последовательность неотрицательных функций, которые возрастают до ограниченной функции $f$ затем $f\in {\mathcal {H}}.$

Затем ${\mathcal {H}}$ содержит все ограниченные функции, измеримые по $\sigma ({\mathcal {A}}),$ которая представляет собой 𝜎-алгебру, порожденную ${\mathcal {A}}.$

Доказательство

Следующий аргумент взят из книги Рика Даррета «Вероятность: теория и примеры».

Доказательство

Предположение $\Omega \,\in {\mathcal {A}},$ (2) и (3) подразумевают, что ${\mathcal {G}}=\left\{A:\mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}\right\}$ является 𝜆-системой. Согласно (1) и теореме π −𝜆 , $\sigma ({\mathcal {A}})\subseteq {\mathcal {G}}.$ Утверждение (2) означает, что ${\mathcal {H}}$ содержит все простые функции, и тогда из (3) следует, что ${\mathcal {H}}$ содержит все ограниченные функции, измеримые по $\sigma ({\mathcal {A}}).$

Результаты и приложения

Как следствие, если $G$ — кольцо множеств , то наименьший монотонный класс, содержащий его, совпадает с 𝜎-кольцом множества $G.$

Применяя эту теорему, можно использовать монотонные классы, чтобы проверить, что определенный набор подмножеств является 𝜎-алгеброй .

Теорема о монотонном классе функций может быть мощным инструментом, позволяющим обобщить утверждения об особенно простых классах функций на произвольные ограниченные и измеримые функции.

См. также

• Система Дынкина - Семья, замкнутая относительно дополнений и счетных непересекающихся союзов.
• π Теорема -𝜆 – семейство, замкнутое относительно дополнений и счетных непересекающихся объединений. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• π -система - семейство множеств, замкнутых при пересечении.
• σ-алгебра - алгебраическая структура алгебры множеств.

Ссылки

• Дарретт, Ричард (2019). Вероятность: теория и примеры (PDF) . Кембриджская серия по статистической и вероятностной математике. Том. 49 (5-е изд.). Кембридж, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-1-108-47368-2 . OCLC   1100115281 . Проверено 5 ноября 2020 г.