Система Дынкина

Система Дынкина , ^{[ 1 ]} имени Евгения Дынкина , представляет собой совокупность подмножеств . другого универсального множества $\Omega$ удовлетворяющая набору аксиом более слабых, чем аксиомы 𝜎-алгебры . Системы Дынкина иногда называют 𝜆-системами (этот термин использовал сам Дынкин) или d-системой . ^{[ 2 ]} Эти семейства множеств имеют приложения в теории меры и вероятности .

Основным применением 𝜆-систем является $теорема π$ -𝜆, см. ниже.

Определение

Позволять $\Omega$ множество непустое , и пусть $D$ быть подмножеств совокупностью $\Omega$ (то есть, $D$ является подмножеством мощности набора $\Omega$ ). Затем $D$ является системой Дынкина, если

$\Omega \in D;$
$D$ замкнуто относительно дополнений подмножеств в надмножествах: если $A,B\in D$ и $A\subseteq B,$ затем $B\setminus A\in D;$
$D$ замкнуто относительно счетных возрастающих объединений : если $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \cdots$ это возрастающая последовательность ^{[ примечание 1 ]} наборов в $D$ затем $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.$

Это легко проверить ^{[ доказательство 1 ]} что любая система Дынкина $D$ удовлетворяет:

$\varnothing \in D;$
$D$ $D$ замкнут при дополнениях в $\Omega$ $\Омега$ : если ${\textstyle A\in D,}$ ${\textstyle A\in D,}$ затем $\Omega \setminus A\in D;$ $\Omega \setminus A\in D;$
- принимая $A:=\Omega$ показывает, что $\varnothing \in D.$
$D$ $D$ замкнуто относительно счетных объединений попарно непересекающихся множеств: если $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ представляет собой последовательность попарно непересекающихся множеств в $D$ $D$ (имеется в виду, что $A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$ $A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$ для всех $i\neq j$ $я\neq j$ ) затем $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.$ $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.$
- Чтобы было ясно, это свойство справедливо и для конечных последовательностей. $A_{1},\ldots ,A_{n}$ попарно непересекающихся множеств (полагая $A_{i}:=\varnothing$ для всех $i>n$ ).

Обратно, легко проверить, что семейство множеств, удовлетворяющих условиям 4–6, является классом Дынкина. ^{[ доказательство 2 ]} По этой причине небольшая группа авторов приняла условия 4–6 для определения системы Дынкина.

Важным фактом является то, что любая система Дынкина, которая также является $π$ -системой (т. е. замкнутой относительно конечных пересечений), является 𝜎-алгеброй . В этом можно убедиться, заметив, что условия 2 и 3 вместе с замыканием при конечных пересечениях влекут замыкание при конечных объединениях, что, в свою очередь, влечет замыкание при счетных объединениях.

Учитывая любую коллекцию ${\mathcal {J}}$ подмножеств $\Omega ,$ существует единственная система Дынкина, обозначаемая $D\{{\mathcal {J}}\}$ что минимально по отношению к содержанию ${\mathcal {J}}.$ То есть, если ${\tilde {D}}$ любая система Динкина, содержащая ${\mathcal {J}},$ затем $D\{{\mathcal {J}}\}\subseteq {\tilde {D}}.$ $D\{{\mathcal {J}}\}$ называется системой Дынкина, порожденной ${\mathcal {J}}.$ Например, $D\{\varnothing \}=\{\varnothing ,\Omega \}.$ В качестве другого примера пусть $\Omega =\{1,2,3,4\}$ и ${\mathcal {J}}=\{1\}$ ; затем $D\{{\mathcal {J}}\}=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3,4\},\Omega \}.$

Теорема Серпинского – Дынкина о π-λ

Теорема Серпинского-Дынкина $о π$ -𝜆: ^{[ 3 ]} Если $P$ является $π$ -системой и $D$ представляет собой систему Дынкина с $P\subseteq D,$ затем $\sigma \{P\}\subseteq D.$

Другими словами, 𝜎-алгебра, порожденная $P$ содержится в $D.$ Таким образом, система Дынкина содержит $π$ -систему тогда и только тогда, когда она содержит 𝜎-алгебру, порожденную этой $π$ -системой.

Одним из применений теоремы Серпинского-Дынкина $о π$ -𝜆 является уникальность меры, оценивающей длину интервала (известной как мера Лебега ):

Позволять $(\Omega ,{\mathcal {B}},\ell )$ — единичный интервал [0,1] с мерой Лебега на борелевских множествах . Позволять $m$ быть еще мерой одной $\Omega$ удовлетворяющий $m[(a,b)]=b-a,$ и пусть $D$ быть семейством множеств $S$ такой, что $m[S]=\ell [S].$ Позволять $I:=\{(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]:0<a\leq b<1\},$ и заметьте, что $I$ замкнуто относительно конечных пересечений, что $I\subseteq D,$ и это ${\mathcal {B}}$ — 𝜎-алгебра, порожденная $I.$ Можно показать, что $D$ удовлетворяет указанным выше условиям для системы Дынкина. Из теоремы Серпинского-Дынкина $о π$ -𝜆 следует, что $D$ фактически включает в себя все ${\mathcal {B}}$ , что эквивалентно доказательству единственности меры Лебега на ${\mathcal {B}}$ .

Приложение к распределениям вероятностей

Теорема $π$ -𝜆 мотивирует общее определение распределения вероятностей . случайной величины $X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R}$ с точки зрения его кумулятивной функции распределения . Напомним, что кумулятивное распределение случайной величины определяется как $F_{X}(a)=\operatorname {P} [X\leq a],\qquad a\in \mathbb {R} ,$ тогда как, казалось бы, более общий закон переменной - это вероятностная мера ${\mathcal {L}}_{X}(B)=\operatorname {P} \left[X^{-1}(B)\right]\quad {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),$ где ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ есть борелевская 𝜎-алгебра. Случайные величины $X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R}$ и $Y:({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\to \mathbb {R}$ (на двух возможно разных вероятностных пространствах ) равны по распределению (или закону ), обозначаемому $X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,$ если они имеют одинаковые кумулятивные функции распределения; то есть, если $F_{X}=F_{Y}.$ Мотивация определения проистекает из наблюдения, что если $F_{X}=F_{Y},$ тогда это именно так сказать ${\mathcal {L}}_{X}$ и ${\mathcal {L}}_{Y}$ согласен насчет $π$ -системы $\{(-\infty ,a]:a\in \mathbb {R} \}$ который генерирует ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),$ и так по примеру выше : ${\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{Y}.$

Аналогичный результат справедлив и для совместного распределения случайного вектора. Например, предположим $X$ и $Y$ две случайные величины, определенные в одном вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),$ с соответственно порожденными $π$ -системами ${\mathcal {I}}_{X}$ и ${\mathcal {I}}_{Y}.$ Совместная кумулятивная функция распределения $(X,Y)$ является $F_{X,Y}(a,b)=\operatorname {P} [X\leq a,Y\leq b]=\operatorname {P} \left[X^{-1}((-\infty ,a])\cap Y^{-1}((-\infty ,b])\right],\quad {\text{ for all }}a,b\in \mathbb {R} .$

Однако, $A=X^{-1}((-\infty ,a])\in {\mathcal {I}}_{X}$ и $B=Y^{-1}((-\infty ,b])\in {\mathcal {I}}_{Y}.$ Потому что ${\mathcal {I}}_{X,Y}=\left\{A\cap B:A\in {\mathcal {I}}_{X},{\text{ and }}B\in {\mathcal {I}}_{Y}\right\}$ является $π$ -системой, порожденной случайной парой $(X,Y),$ Теорема $π$ -𝜆 используется, чтобы показать, что совместная кумулятивная функция распределения достаточна для определения совместного закона $(X,Y).$ Другими словами, $(X,Y)$ и $(W,Z)$ имеют одинаковое распределение тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую совместную кумулятивную функцию распределения.

В теории случайных процессов два процесса $(X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}$ известно, что они равны по распределению тогда и только тогда, когда они согласуются по всем конечномерным распределениям; то есть для всех $t_{1},\ldots ,t_{n}\in T,\,n\in \mathbb {N} ,$ $\left(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}\right)\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,\left(Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}\right).$

Доказательством этого является еще одно применение $теоремы π$ -𝜆. ^{[ 4 ]}

См. также

Алгебра множеств - Тождества и отношения с участием множеств.
$δ$ -кольцо - Кольцо, замкнутое относительно счетных пересечений.
Поле множеств - алгебраическое понятие в теории меры, также называемое алгеброй множеств.
Класс Monotone — теорема.
$π$ -система - семейство множеств, замкнутых при пересечении.
Кольцо множеств - Семья, замкнутая союзами и относительными дополнениями.
σ-алгебра - алгебраическая структура алгебры множеств.
𝜎-идеал - семейство, замкнутое относительно подмножеств и счетных объединений.
𝜎-кольцо – семейство множеств, замкнутых счетными объединениями.

Примечания

^ Последовательность наборов $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ называется возрастающим, если $A_{n}\subseteq A_{n+1}$ для всех $n\geq 1.$

Доказательства

^ Предположим ${\mathcal {D}}$ удовлетворяет (1), (2) и (3). Доказательство (5) : Свойство (5) следует из (1) и (2) с помощью $B:=\Omega .$ Для доказательства (6) будет использована следующая лемма. Лемма : Если $A,B\in {\mathcal {D}}$ тогда они не пересекаются $A\cup B\in {\mathcal {D}}.$ Доказательство леммы : $A\cap B=\varnothing$ подразумевает $B\subseteq \Omega \setminus A,$ где $\Omega \setminus A\subseteq \Omega$ по (5). Теперь (2) означает, что ${\mathcal {D}}$ содержит $(\Omega \setminus A)\setminus B=\Omega \setminus (A\cup B)$ так что (5) гарантирует, что $A\cup B\in {\mathcal {D}},$ что и доказывает лемму. Доказательство (6). Предположим, что $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ являются попарно непересекающимися множествами в ${\mathcal {D}}.$ Для каждого целого числа $n>0,$ из леммы следует, что $D_{n}:=A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}\in {\mathcal {D}}$ где, потому что $D_{1}\subseteq D_{2}\subseteq D_{3}\subseteq \cdots$ возрастает, (3) гарантирует, что ${\mathcal {D}}$ содержит их союз $D_{1}\cup D_{2}\cup \cdots =A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots ,$ по желанию. $\blacksquare$
^ Предположим ${\mathcal {D}}$ удовлетворяет (4), (5) и (6). доказательство (2) : если $A,B\in {\mathcal {D}}$ удовлетворить $A\subseteq B$ тогда (5) влечет $\Omega \setminus B\in {\mathcal {D}}$ и поскольку $(\Omega \setminus B)\cap A=\varnothing ,$ (6) подразумевает, что ${\mathcal {D}}$ содержит $(\Omega \setminus B)\cup A=\Omega \setminus (B\setminus A)$ так что, наконец, (4) гарантирует, что $\Omega \setminus (\Omega \setminus (B\setminus A))=B\setminus A$ находится в ${\mathcal {D}}.$ Доказательство (3) : предположим $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots$ представляет собой возрастающую последовательность подмножеств в ${\mathcal {D}},$ позволять $D_{1}=A_{1},$ и пусть $D_{i}=A_{i}\setminus A_{i-1}$ для каждого $i>1,$ где (2) гарантирует, что $D_{2},D_{3},\ldots$ все принадлежат ${\mathcal {D}}.$ С $D_{1},D_{2},D_{3},\ldots$ попарно не пересекаются, (6) гарантирует их объединение $D_{1}\cup D_{2}\cup D_{3}\cup \cdots =A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots$ принадлежит ${\mathcal {D}},$ что доказывает (3). $\blacksquare$

^ Дынкин Е., "Основы теории марковских процессов", Москва, 1959.
^ Алипрантис, Хараламбос; Бордер, Ким К. (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешествующих автостопом (Третье изд.). Спрингер . Проверено 23 августа 2010 г.
^ Сенгупта. «Лекции по теории меры, лекция 6: Теорема Дынкина π - λ» (PDF) . Math.lsu . Проверено 3 января 2023 г.
^ Калленберг, Основы современной вероятности, с. 48

Ссылки

Гут, Аллан (2005). Вероятность: аспирантура . Нью-Йорк: Спрингер. дои : 10.1007/b138932 . ISBN 0-387-22833-0 .
Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера . John Wiley & Sons, Inc. Нью-Йорк: ISBN 0-471-00710-2 .
Уильямс, Дэвид (2007). Вероятность с Мартингалами . Издательство Кембриджского университета. п. 193. ИСБН 0-521-40605-6 .

В эту статью включены материалы из системы Dynkin на PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Семьи ${\mathcal {F}}$ сетов закончилось $\Omega$ v т и
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	Directed by $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
$π$ -system
Semiring										Never
Semialgebra (Semifield)										Never
Monotone class						only if $A_{i}\searrow$	only if $A_{i}\nearrow$
𝜆-system (Dynkin System)				only if $A\subseteq B$			only if $A_{i}\nearrow$ or they are disjoint			Never
Ring (Order theory)
Ring (Measure theory)										Never
δ-Ring										Never
𝜎-Ring										Never
Algebra (Field)										Never
𝜎-Algebra (𝜎-Field)										Never
Dual ideal
Filter				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Prefilter (Filter base)				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Filter subbase				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Open Topology							(even arbitrary $\cup$ )			Never
Closed Topology						(even arbitrary $\cap$ )				Never
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	directed downward	finite intersections	finite unions	relative complements	complements in $\Omega$	countable intersections	countable unions	contains $\Omega$	contains $\varnothing$	Finite Intersection Property
Additionally, a *semiring* is a $π$ -system where every complement $B\setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ A *semialgebra* is a semiring where every complement $\Omega \setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ are arbitrary elements of ${\mathcal {F}}$ and it is assumed that ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$

[3] Последовательность наборов $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ называется возрастающим, если $A_{n}\subseteq A_{n+1}$ для всех $n\geq 1.$

[DynkinClosedUnderDisjointU-4] Предположим ${\mathcal {D}}$ удовлетворяет (1), (2) и (3). Доказательство (5) : Свойство (5) следует из (1) и (2) с помощью $B:=\Omega .$ Для доказательства (6) будет использована следующая лемма. Лемма : Если $A,B\in {\mathcal {D}}$ тогда они не пересекаются $A\cup B\in {\mathcal {D}}.$ Доказательство леммы : $A\cap B=\varnothing$ подразумевает $B\subseteq \Omega \setminus A,$ где $\Omega \setminus A\subseteq \Omega$ по (5). Теперь (2) означает, что ${\mathcal {D}}$ содержит $(\Omega \setminus A)\setminus B=\Omega \setminus (A\cup B)$ так что (5) гарантирует, что $A\cup B\in {\mathcal {D}},$ что и доказывает лемму. Доказательство (6). Предположим, что $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ являются попарно непересекающимися множествами в ${\mathcal {D}}.$ Для каждого целого числа $n>0,$ из леммы следует, что $D_{n}:=A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}\in {\mathcal {D}}$ где, потому что $D_{1}\subseteq D_{2}\subseteq D_{3}\subseteq \cdots$ возрастает, (3) гарантирует, что ${\mathcal {D}}$ содержит их союз $D_{1}\cup D_{2}\cup \cdots =A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots ,$ по желанию. $\blacksquare$

[DisjointUGlobalComplementGiveDynkin-5] Предположим ${\mathcal {D}}$ удовлетворяет (4), (5) и (6). доказательство (2) : если $A,B\in {\mathcal {D}}$ удовлетворить $A\subseteq B$ тогда (5) влечет $\Omega \setminus B\in {\mathcal {D}}$ и поскольку $(\Omega \setminus B)\cap A=\varnothing ,$ (6) подразумевает, что ${\mathcal {D}}$ содержит $(\Omega \setminus B)\cup A=\Omega \setminus (B\setminus A)$ так что, наконец, (4) гарантирует, что $\Omega \setminus (\Omega \setminus (B\setminus A))=B\setminus A$ находится в ${\mathcal {D}}.$ Доказательство (3) : предположим $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots$ представляет собой возрастающую последовательность подмножеств в ${\mathcal {D}},$ позволять $D_{1}=A_{1},$ и пусть $D_{i}=A_{i}\setminus A_{i-1}$ для каждого $i>1,$ где (2) гарантирует, что $D_{2},D_{3},\ldots$ все принадлежат ${\mathcal {D}}.$ С $D_{1},D_{2},D_{3},\ldots$ попарно не пересекаются, (6) гарантирует их объединение $D_{1}\cup D_{2}\cup D_{3}\cup \cdots =A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots$ принадлежит ${\mathcal {D}},$ что доказывает (3). $\blacksquare$

[1] Дынкин Е., "Основы теории марковских процессов", Москва, 1959.

[2] Алипрантис, Хараламбос; Бордер, Ким К. (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешествующих автостопом (Третье изд.). Спрингер . Проверено 23 августа 2010 г.

[6] Сенгупта. «Лекции по теории меры, лекция 6: Теорема Дынкина π - λ» (PDF) . Math.lsu . Проверено 3 января 2023 г.

[7] Калленберг, Основы современной вероятности, с. 48

[ 1 ]

[ 2 ]

[ примечание 1 ]

[ доказательство 1 ]

[ доказательство 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]