Смешанный биномиальный процесс

Смешанный биномиальный процесс — особый точечный процесс в теории вероятностей . Они естественным образом возникают из-за ограничений ( смешанных ) пуассоновских процессов на ограниченные интервалы.

Определение

Позволять $P$ — распределение вероятностей и пусть $X_{i},X_{2},\dots$ быть iid случайными величинами с распределением $P$. Позволять $K$ быть случайной величиной, принимающей (почти наверняка) значения в $\mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}$. Предположим, что $K,X_{1},X_{2},\dots$ позволяют независимы и $\delta _{x}$ обозначим меру Дирака в точке $x$.

Тогда случайная мера $\xi$ называется смешанным биномиальным процессом, если он имеет представление в виде

$\xi =\sum _{i=0}^{K}\delta _{X_{i}}$

Это эквивалентно $\xi$ условно на $\{K=n\}$ представляет собой биномиальный процесс, основанный на $n$ и $P$.

Характеристики

Преобразование Лапласа

При условии включения $K=n$, смешанный биномиальный процесс имеет преобразование Лапласа

${\mathcal {L}}(f)=\left(\int \exp(-f(x))\;P(\mathrm {d} x)\right)^{n}$

для любой положительной измеримой функции $f$.

Ограничение на ограниченные множества

Для точечного процесса $\xi$ и ограниченное измеримое множество $B$ определить ограничение $\xi$ на $B$ как

$\xi _{B}(\cdot )=\xi (B\cap \cdot )$.

Смешанные биномиальные процессы устойчивы при ограничениях в том смысле, что если $\xi$ представляет собой смешанный биномиальный процесс, основанный на $P$ и $K$, затем $\xi _{B}$ представляет собой смешанный биномиальный процесс, основанный на

$P_{B}(\cdot )={\frac {P(B\cap \cdot )}{P(B)}}$

и некоторая случайная величина ${\tilde {K}}$.

Также, если $\xi$ является процессом Пуассона или смешанным процессом Пуассона , то $\xi _{B}$ представляет собой смешанный биномиальный процесс.

Примеры

Случайные меры пуассоновского типа представляют собой семейство трех случайных считающих мер, замкнутых при ограничении на подпространство, т. е. замкнутых при прореживании, которые являются примерами смешанных биномиальных процессов. Это единственные распределения в семействе канонических неотрицательных степенных рядов , которые обладают этим свойством и включают распределение Пуассона , отрицательное биномиальное распределение и биномиальное распределение . Случайные меры типа Пуассона (ПТ) включают случайную меру Пуассона , отрицательную биномиальную случайную меру и биномиальную случайную меру.